回溯+剪枝

回溯和剪枝优化

  • 1.组合问题
    • 1.1组合
    • 1.2电话号码的字母组合
    • 1.3组合总和
    • 1.4组合总和II
    • 1.5组合总和III
  • 2.分割问题
    • 2.1分割回文串
    • 2.2复原IP地址
  • 3.子集问题
    • 3.1子集
    • 3.2子集 II
  • 4.排列问题
    • 4.1全排列
    • 4.2全排列II
  • 5.棋盘问题
    • 5.1N皇后问题
    • 5.2解数独
  • 6.其他问题
    • 6.1递增子数列

首先需要明白的就是回溯算法的本质就是暴力穷举所有可能,然后再选择符合条件的结果,这是一个暴力求解的过程,就像我们解决某些问题的时候利用多层for循环穷举,不过多层for循环是有局限的,举一个简单的例子:在一个数组中,我们需要列举出5个数字的组合,利用for实现就需要写5层for循环,这样太繁琐了(而且想一想如果是10个数或者更多的数,那for的层数就要增加),这个时候就可以使用回溯来解决。

回溯,将元素尝试性的加入到答案的状态中,看看是否符合要求(如果符合要求就保存到最终结果当中,不符合的话就进行回溯,回到添加元素之前的状态)。回溯问题的求解过程可以看成是一棵树,找根节点到叶子节的解的过程,如下图所示:(图片和下文的题目列表来自代码随想录,题目来源leetcode

https://www.programmercarl.com/

回溯+剪枝_第1张图片

1.组合问题

1.1组合

回溯+剪枝_第2张图片

剪枝优化体现在我们在剩下的元素数量已经不足以凑够k个数的结果时,我们就不需要再for循环遍历下去了,所以可以进行剪枝优化(优化和非优化代码均在下面代码中)

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(int n, int k, int startIndex){
        if(path.size() == k){
            result.push_back(path);
            return;
        }
        //下面循环时候做了剪枝优化
        //未剪枝版本:for(int i = startIndex; i <= n; i++)
        for(int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){
            path.push_back(i);//添加节点
            backtracking(n, k, i + 1); //递归
            path.pop_back(); //回溯
        }
    }
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

1.2电话号码的字母组合

回溯+剪枝_第3张图片
这个题目相较于前面的题目来说,设计到一个字符串的处理过程,如何干净整洁处理好字符字符串也是一种考验,但是题目的解题思路和之前的题目完全一样的。

class Solution {
public:
    const string letterMap[10] = {
        "",
        "",
        "abc",
        "def",
        "ghi",
        "jkl",
        "mno",
        "pqrs",
        "tuv",
        "wxyz",
    };
    vector<string> result;
    string s;

    void backtracking(const string& digits, int index){
        if(index == digits.size()){
            result.push_back(s);
            return;
        }
        int digit = digits[index] - '0'; //获得index指向的数字
        string letters = letterMap[digit]; //取数字对应的字符表
        for(int i = 0; i < letters.size(); i++){
            s.push_back(letters[i]);
            backtracking(digits, index + 1);
            s.pop_back();
        }
    }
    vector<string> letterCombinations(string digits) {
        if(digits.size() == 0) return result;
        backtracking(digits, 0);
        return result;
    }
};

1.3组合总和

回溯+剪枝_第4张图片

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int cnt, int startIndex){
        if(cnt > target) return;
        if(cnt == target){
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for(int i = startIndex; i < candidates.size(); i++){
            cnt += candidates[i];
            path.push_back(candidates[i]);
            //这里需要注意,同一个数可以多次选择,所以就不是backtracking(candidates, target, cnt, startIndex + 1);
            backtracking(candidates, target, cnt, i);
            path.pop_back();
            cnt -= candidates[i];
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
        backtracking(candidates, target, 0, 0);
        return result;
    }
};

1.4组合总和II

这个题目和组合总和相比,这个题目要求每个数字在每个组合中只能够使用一次,而且不能够有重复的结果,所以题目相当于又增加了去重的处理。
回溯+剪枝_第5张图片

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> answer;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int cnt, int startIndex, vector<bool>& used){
        if(cnt > target) return;
        if(cnt == target){
            answer.push_back(path);
            return;
        }
        for(int i = startIndex; i < candidates.size() && cnt + candidates[i] <= target;i++){
            // used[i - 1] == true,说明同一 树枝candidates[i - 1]使用过
            // used[i - 1] == false,说明同一 树层candidates[i - 1]使用过
            // 要对同一树层使用过的元素进行跳过
            if(i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == false)  continue;
            path.push_back(candidates[i]);
            cnt += candidates[i];
            used[i] = true;
            backtracking(candidates, target, cnt, i + 1 ,used);
            used[i] = false;
            cnt -= candidates[i];
            path.pop_back();
            
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
        //我们需要一个used数组来标记同一条的path中的元素是否已经使用
        vector<bool> used(candidates.size(), false);
        //先对数组进行一次排序
        sort(candidates.begin(), candidates.end());
        backtracking(candidates, target, 0, 0, used);
        return answer;
    }
};

1.5组合总和III

回溯+剪枝_第6张图片

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(int targetSum, int k, int cnt, int startIndex){
        //剪枝操作1
        if(cnt >  targetSum) return;
        if(cnt == targetSum &&  path.size() == k){
            result.push_back(path);
            return;
        }
        //剪枝操作2
        for(int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++){
            cnt+=i;
            path.push_back(i);
            backtracking(targetSum, k, cnt, i + 1);
            path.pop_back();
            cnt-=i;
        }
    }
    vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
        backtracking(n, k, 0, 1);
        return result;
    }
};

2.分割问题

在分割问题上面,会涉及到字符串操作相关的额外问题,比如回文的判定,IP数字的合法性判断等等。

2.1分割回文串

回溯+剪枝_第7张图片
回溯的求解过程

class Solution {
public:
    vector<vector<string>> result;
    vector<string> path;
    void backtracking(const string& s, int startIndex){
        //如果起始位置已经大于s的大小了,说明已经找到了一组分割方案了
        if(startIndex >= s.size()){
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for(int i = startIndex; i < s.size(); i++){
            if(isPalindrome(s, startIndex, i)){//是回文串
                //获取[startIndex, i]在s中的字串
                string str = s.substr(startIndex, i - startIndex + 1);
                path.push_back(str);
            }else{
                continue;
            }
            backtracking(s, i + 1);//寻找i+1为起始位置的字串
            path.pop_back();//回溯
        }
    }
    bool isPalindrome(const string& s, int start, int end){
        for(int i = start, j = end; i < j; i++, j--){
            if(s[i] != s[j]){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    vector<vector<string>> partition(string s) {
        backtracking(s, 0);
        return result;
    }
};

这里题目的优化思路就在于回文判定的时候,回文串判定存在重复操作的,所以我们可以提前做好回文子串的判定,然后把将结果存储到二维数组中,减少回文判定时候的重复操作。

class Solution {
public:
    vector<vector<string>> result;
    vector<string> path;
    vector<vector<bool>> isPalindrome;//存放事先计算好的是否为回文子串的结果
    void backtracking(const string& s, int startIndex){
        //如果起始位置已经大于s的大小了,说明已经找到了一组分割方案了
        if(startIndex >= s.size()){
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for(int i = startIndex; i < s.size(); i++){
            if(isPalindrome[startIndex][i]){//是回文串
                //获取[startIndex, i]在s中的字串
                string str = s.substr(startIndex, i - startIndex + 1);
                path.push_back(str);
            }else{
                continue;
            }
            cout<<i<<endl;
            backtracking(s, i + 1);//寻找i+1为起始位置的字串
            path.pop_back();//回溯
        }
    }
    void computePalindrome(const string& s){
        //isPalindrome[i][j]代表s[i : j]是否为回文字符串
        isPalindrome.resize(s.size(),vector<bool>(s.size(), false));
        for(int i = s.size() - 1; i >= 0; i--){
            //需要倒序计算,保证i行时,i+1行已经计算好了
            for(int j = i; j < s.size(); j++){
                if(j == i){
                    isPalindrome[i][j] = true;             
                }else if(j - i == 1){
                    isPalindrome[i][j] = (s[i] == s[j]);
                }else{
                    isPalindrome[i][j]= (s[i] == s[j] && isPalindrome[i + 1][j - 1]);
                }
            }
        }
    }
    vector<vector<string>> partition(string s) {
        computePalindrome(s);
        backtracking(s, 0);
        return result;
    }
};

2.2复原IP地址

回溯+剪枝_第8张图片
这里需要判断构成IP的数字是否合法,所以精简的写出合法性判断很重要

class Solution {
public:
    vector<string> result;
    //startIndex:搜索的起始位置,pointNum:添加逗点的数量
    void backtracking(string& s, int startIndex, int pointNum){
        if(pointNum == 3){//逗点数量为3时,分隔就结束了
            //判断第四个子字符串是否合法,如果合法就放进result中
            if(isValid(s, startIndex, s.size() - 1)){
                result.push_back(s);
            }
            return;
        }
        for(int i = startIndex; i < s.size(); i++){
            if(isValid(s, startIndex,i)){//判断[startIndex, i]这个区间的子串是否合法
                s.insert(s.begin() + i +1,'.');//在i的后面插入一个逗点
                pointNum++;
                backtracking(s, i + 2, pointNum);
                pointNum--;
                s.erase(s.begin() + i + 1);
            }else{
                break;
            }
        }
    }
    //判断字符串s在[startIndex, i]这个区间的子串是否合法
    bool isValid(const string& s, int start, int end){
        if(start > end){
            return false;
        }
        if(s[start] == '0' && start != end){
            return false;
        }
        int num = 0;
        for(int i = start; i <= end; i++){
            if(s[i] > '9' || s[i] < '0'){
                return false;
            }
            num = num * 10 + (s[i] - '0');
            if(num > 255){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    vector<string> restoreIpAddresses(string s) {
        if(s.size() < 4 || s.size() > 12) return result;
        backtracking(s, 0, 0);
        return result;
    }
};

3.子集问题

3.1子集

回溯+剪枝_第9张图片
这个题目时回溯问题的板子题,也就是回溯的模板基本上都和这个题目是差不多的

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex){
        result.push_back(path);
        if(startIndex >= nums.size()){
            return;
        }
        for(int i = startIndex; i < nums.size(); i++){
            path.push_back(nums[i]);
            backtracking(nums, i + 1);
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
        backtracking(nums, 0);
        return result;
    }
};

3.2子集 II

回溯+剪枝_第10张图片这个题目这里存在了重复元素,所以就涉及到一个去重的问题,我们可以增加一个used数组来实现去重的过程

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    
    void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex, vector<bool> used){
        result.push_back(path);
        if(startIndex >= nums.size()) return;
        for(int i = startIndex; i < nums.size(); i++){
            //相同的元素可以同时使用,但是不可以非同时使用
            if(i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) continue;
            path.push_back(nums[i]);
            used[i] = true;
            backtracking(nums, i + 1, used);
            used[i] = false;
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) {
        vector<bool> used(nums.size(), false);
        sort(nums.begin(), nums.end());
        backtracking(nums, 0, used);
        return result;
    }
};

4.排列问题

前面的组合问题,元素之间的无序并不影响结果,而在组合问题中,元素顺序不一致表示不同的结果。下面为全排列的问题。

4.1全排列

回溯+剪枝_第11张图片在这里used数组的作用就不是为了实现去重的功能了,不过也是为了标记元素的使用情况。

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& nums, vector<bool>& used){
        if(path.size()==nums.size()){
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++){
            if(used[i] == true) continue;//path里面已经收录了
            used[i] = true;
            path.push_back(nums[i]);
            backtracking(nums, used);
            path.pop_back();
            used[i] = false;
        }
    }
    vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
        vector<bool> used(nums.size(), false);
        backtracking(nums, used);
        return result;
    }
};

4.2全排列II

回溯+剪枝_第12张图片当全排列问题中数组存在相同元素的时候,这时就涉及到如何去重的问题

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& nums, vector<bool>& used){
        if(path.size()==nums.size()){
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++){
            // used[i - 1] == true,说明同一树枝nums[i - 1]使用过
            // used[i - 1] == false,说明同一树层nums[i - 1]使用过
            // 如果同一树层nums[i - 1]使用过则直接跳过
            if(i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) continue;
            if(used[i] == false){
                used[i] = true;
                path.push_back(nums[i]);
                backtracking(nums, used);
                path.pop_back();
                used[i] = false;
            }   
        }
    }
    vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {
        sort(nums.begin(), nums.end());
        vector<bool> used(nums.size(), false);
        backtracking(nums, used);
        return result;
    }
};

5.棋盘问题

5.1N皇后问题

N皇后问题是回溯的经典应用
回溯+剪枝_第13张图片

class Solution {
public:
    vector<vector<string>> result;
    //n为输入棋盘的大小,row为第几行了
    void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard){
        if(row == n){
            result.push_back(chessboard);
            return;
        }
        for(int col = 0; col < n; col++){
            if(isValid(row, col, chessboard, n)){//验证合法性就可以放
                chessboard[row][col] = 'Q';
                backtracking(n, row + 1, chessboard);
                chessboard[row][col] = '.';//回溯 撤销皇后
            }
        }
    }
    //用来检查皇后存放的位置是否合法
    bool isValid(int row, int col, vector<string>& chessboard, int n){
        //检查列:0度和180度角
        for(int i = 0; i < row; i++){
            if(chessboard[i][col] == 'Q') return false;
        }
        //行不需要检查(因为每行只能放一个皇后)
        //检查45度角(主对角线)
        for(int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--){
            if(chessboard[i][j] == 'Q') return false;
        }
        //检查135度角(副对角线)
        for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++){
            if(chessboard[i][j] == 'Q') return false;
        }
        return true;
    }
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        vector<string> chessboard(n, string(n, '.'));
        backtracking(n, 0, chessboard);
        return result;
    }
};

5.2解数独

解数独的设计到二维的回溯,题目的难度相较于前面的题目难度大,不过回溯的思路很明确,就是暴力搜索探测结果,一旦方向某个数填在的位置不可行,就立马回溯,重新选择其他数字

回溯+剪枝_第14张图片

class Solution {
public:
    bool backtracking(vector<vector<char>>& board){
        for(int i = 0; i < board.size(); i++){
            for(int j = 0; j < board[0].size(); j++){
                if(board[i][j] == '.'){
                    for(char k = '1'; k <= '9'; k++){
                        if(isValid(i, j, k, board)){
                            board[i][j] = k;
                            //如果找到合适的一组立即返回
                            if(backtracking(board)) return true;
                            board[i][j] = '.';
                        }
                    }
                    //9个数字都试完了且都不行,那就直接返回
                    return false;
                }
            }
        }
        //如果都没有false返回,说明找到了合适的棋盘位置
        return true;
    }
    bool isValid(int row, int col, char val, vector<vector<char>>& board){
        //判断行是否重复
        for(int i = 0; i < 9; i++){
            if(board[row][i] == val) return false;
        }
        //判断列是否重复
        for(int j = 0; j < 9; j++){
            if(board[j][col] == val) return false;
        }
        //接下来判断小矩形9个方格里面是否重复
        int startRow = (row / 3) * 3;
        int startCol = (col / 3) * 3;
        for(int i = startRow; i < startRow + 3; i++){
            for(int j = startCol; j < startCol + 3; j++){
                if(board[i][j] == val) return false;
            }
        }
        //最后表示这个数字能够放在这个空格里面
        return true;
    }
    void solveSudoku(vector<vector<char>>& board) {
        backtracking(board);
    }
};

6.其他问题

6.1递增子数列

这个题目和子集II很像,但是这个两个题目并不相同!这个题目不能够利用排序进行预处理,我们需要保持数组原本的次序的情况下,不要找到递增子序列,并且实现结果的去重操作
回溯+剪枝_第15张图片

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex){
        if(path.size() > 1) result.push_back(path);
        unordered_set<int> uset;//使用set对本层元素进行去重
        for(int i = startIndex; i < nums.size(); i++){
            if((!path.empty() && nums[i] < path.back()) || uset.find(nums[i]) != uset.end()){
                continue;
            }
            uset.insert(nums[i]);//记录这个元素在本层已经用过了,本层之后不能再用了
            path.push_back(nums[i]);
            backtracking(nums, i + 1);
            path.pop_back();
        }
    }
    vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {
        backtracking(nums, 0);
        return result;
    }
};

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