回溯+剪枝
回溯和剪枝优化
- 1.组合问题
-
- 1.1组合
- 1.2电话号码的字母组合
- 1.3组合总和
- 1.4组合总和II
- 1.5组合总和III
- 2.分割问题
-
- 2.1分割回文串
- 2.2复原IP地址
- 3.子集问题
-
- 3.1子集
- 3.2子集 II
- 4.排列问题
-
- 4.1全排列
- 4.2全排列II
- 5.棋盘问题
-
- 5.1N皇后问题
- 5.2解数独
- 6.其他问题
-
- 6.1递增子数列
首先需要明白的就是回溯算法的本质就是暴力穷举所有可能，然后再选择符合条件的结果，这是一个暴力求解的过程，就像我们解决某些问题的时候利用多层for循环穷举，不过多层for循环是有局限的，举一个简单的例子：在一个数组中，我们需要列举出5个数字的组合，利用for实现就需要写5层for循环，这样太繁琐了（而且想一想如果是10个数或者更多的数，那for的层数就要增加），这个时候就可以使用回溯来解决。
回溯，将元素尝试性的加入到答案的状态中，看看是否符合要求（如果符合要求就保存到最终结果当中，不符合的话就进行回溯，回到添加元素之前的状态）。回溯问题的求解过程可以看成是一棵树，找根节点到叶子节的解的过程，如下图所示：（图片和下文的题目列表来自代码随想录，题目来源leetcode）
https://www.programmercarl.com/
1.组合问题
1.1组合
剪枝优化体现在我们在剩下的元素数量已经不足以凑够k个数的结果时，我们就不需要再for循环遍历下去了，所以可以进行剪枝优化（优化和非优化代码均在下面代码中）
class Solution {
public:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(int n, int k, int startIndex){
if(path.size() == k){
result.push_back(path);
return;
}
//下面循环时候做了剪枝优化
//未剪枝版本：for(int i = startIndex; i <= n; i++)
for(int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){
path.push_back(i);//添加节点
backtracking(n, k, i + 1); //递归
path.pop_back(); //回溯
}
}
vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
backtracking(n, k, 1);
return result;
}
};
1.2电话号码的字母组合
这个题目相较于前面的题目来说，设计到一个字符串的处理过程，如何干净整洁处理好字符字符串也是一种考验，但是题目的解题思路和之前的题目完全一样的。
class Solution {
public:
const string letterMap[10] = {
"",
"",
"abc",
"def",
"ghi",
"jkl",
"mno",
"pqrs",
"tuv",
"wxyz",
};
vector<string> result;
string s;
void backtracking(const string& digits, int index){
if(index == digits.size()){
result.push_back(s);
return;
}
int digit = digits[index] - '0'; //获得index指向的数字
string letters = letterMap[digit]; //取数字对应的字符表
for(int i = 0; i < letters.size(); i++){
s.push_back(letters[i]);
backtracking(digits, index + 1);
s.pop_back();
}
}
vector<string> letterCombinations(string digits) {
if(digits.size() == 0) return result;
backtracking(digits, 0);
return result;
}
};
1.3组合总和
class Solution {
public:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int cnt, int startIndex){
if(cnt > target) return;
if(cnt == target){
result.push_back(path);
return;
}
for(int i = startIndex; i < candidates.size(); i++){
cnt += candidates[i];
path.push_back(candidates[i]);
//这里需要注意，同一个数可以多次选择，所以就不是backtracking(candidates, target, cnt, startIndex + 1);
backtracking(candidates, target, cnt, i);
path.pop_back();
cnt -= candidates[i];
}
}
vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
backtracking(candidates, target, 0, 0);
return result;
}
};
1.4组合总和II
这个题目和组合总和相比，这个题目要求每个数字在每个组合中只能够使用一次，而且不能够有重复的结果，所以题目相当于又增加了去重的处理。
class Solution {
public:
vector<vector<int>> answer;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int cnt, int startIndex, vector<bool>& used){
if(cnt > target) return;
if(cnt == target){
answer.push_back(path);
return;
}
for(int i = startIndex; i < candidates.size() && cnt + candidates[i] <= target;i++){
// used[i - 1] == true，说明同一 树枝candidates[i - 1]使用过
// used[i - 1] == false，说明同一 树层candidates[i - 1]使用过
// 要对同一树层使用过的元素进行跳过
if(i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == false) continue;
path.push_back(candidates[i]);
cnt += candidates[i];
used[i] = true;
backtracking(candidates, target, cnt, i + 1 ,used);
used[i] = false;
cnt -= candidates[i];
path.pop_back();
}
}
vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
//我们需要一个used数组来标记同一条的path中的元素是否已经使用
vector<bool> used(candidates.size(), false);
//先对数组进行一次排序
sort(candidates.begin(), candidates.end());
backtracking(candidates, target, 0, 0, used);
return answer;
}
};
1.5组合总和III
class Solution {
public:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(int targetSum, int k, int cnt, int startIndex){
//剪枝操作1
if(cnt > targetSum) return;
if(cnt == targetSum && path.size() == k){
result.push_back(path);
return;
}
//剪枝操作2
for(int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++){
cnt+=i;
path.push_back(i);
backtracking(targetSum, k, cnt, i + 1);
path.pop_back();
cnt-=i;
}
}
vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
backtracking(n, k, 0, 1);
return result;
}
};
2.分割问题
在分割问题上面，会涉及到字符串操作相关的额外问题，比如回文的判定，IP数字的合法性判断等等。
2.1分割回文串
回溯的求解过程
class Solution {
public:
vector<vector<string>> result;
vector<string> path;
void backtracking(const string& s, int startIndex){
//如果起始位置已经大于s的大小了，说明已经找到了一组分割方案了
if(startIndex >= s.size()){
result.push_back(path);
return;
}
for(int i = startIndex; i < s.size(); i++){
if(isPalindrome(s, startIndex, i)){//是回文串
//获取[startIndex, i]在s中的字串
string str = s.substr(startIndex, i - startIndex + 1);
path.push_back(str);
}else{
continue;
}
backtracking(s, i + 1);//寻找i+1为起始位置的字串
path.pop_back();//回溯
}
}
bool isPalindrome(const string& s, int start, int end){
for(int i = start, j = end; i < j; i++, j--){
if(s[i] != s[j]){
return false;
}
}
return true;
}
vector<vector<string>> partition(string s) {
backtracking(s, 0);
return result;
}
};
这里题目的优化思路就在于回文判定的时候，回文串判定存在重复操作的，所以我们可以提前做好回文子串的判定，然后把将结果存储到二维数组中，减少回文判定时候的重复操作。
class Solution {
public:
vector<vector<string>> result;
vector<string> path;
vector<vector<bool>> isPalindrome;//存放事先计算好的是否为回文子串的结果
void backtracking(const string& s, int startIndex){
//如果起始位置已经大于s的大小了，说明已经找到了一组分割方案了
if(startIndex >= s.size()){
result.push_back(path);
return;
}
for(int i = startIndex; i < s.size(); i++){
if(isPalindrome[startIndex][i]){//是回文串
//获取[startIndex, i]在s中的字串
string str = s.substr(startIndex, i - startIndex + 1);
path.push_back(str);
}else{
continue;
}
cout<<i<<endl;
backtracking(s, i + 1);//寻找i+1为起始位置的字串
path.pop_back();//回溯
}
}
void computePalindrome(const string& s){
//isPalindrome[i][j]代表s[i : j]是否为回文字符串
isPalindrome.resize(s.size(),vector<bool>(s.size(), false));
for(int i = s.size() - 1; i >= 0; i--){
//需要倒序计算，保证i行时，i+1行已经计算好了
for(int j = i; j < s.size(); j++){
if(j == i){
isPalindrome[i][j] = true;
}else if(j - i == 1){
isPalindrome[i][j] = (s[i] == s[j]);
}else{
isPalindrome[i][j]= (s[i] == s[j] && isPalindrome[i + 1][j - 1]);
}
}
}
}
vector<vector<string>> partition(string s) {
computePalindrome(s);
backtracking(s, 0);
return result;
}
};
2.2复原IP地址
这里需要判断构成IP的数字是否合法，所以精简的写出合法性判断很重要
class Solution {
public:
vector<string> result;
//startIndex:搜索的起始位置，pointNum：添加逗点的数量
void backtracking(string& s, int startIndex, int pointNum){
if(pointNum == 3){//逗点数量为3时，分隔就结束了
//判断第四个子字符串是否合法，如果合法就放进result中
if(isValid(s, startIndex, s.size() - 1)){
result.push_back(s);
}
return;
}
for(int i = startIndex; i < s.size(); i++){
if(isValid(s, startIndex,i)){//判断[startIndex, i]这个区间的子串是否合法
s.insert(s.begin() + i +1,'.');//在i的后面插入一个逗点
pointNum++;
backtracking(s, i + 2, pointNum);
pointNum--;
s.erase(s.begin() + i + 1);
}else{
break;
}
}
}
//判断字符串s在[startIndex, i]这个区间的子串是否合法
bool isValid(const string& s, int start, int end){
if(start > end){
return false;
}
if(s[start] == '0' && start != end){
return false;
}
int num = 0;
for(int i = start; i <= end; i++){
if(s[i] > '9' || s[i] < '0'){
return false;
}
num = num * 10 + (s[i] - '0');
if(num > 255){
return false;
}
}
return true;
}
vector<string> restoreIpAddresses(string s) {
if(s.size() < 4 || s.size() > 12) return result;
backtracking(s, 0, 0);
return result;
}
};
3.子集问题
3.1子集
这个题目时回溯问题的板子题，也就是回溯的模板基本上都和这个题目是差不多的
class Solution {
public:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex){
result.push_back(path);
if(startIndex >= nums.size()){
return;
}
for(int i = startIndex; i < nums.size(); i++){
path.push_back(nums[i]);
backtracking(nums, i + 1);
path.pop_back();
}
}
vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
backtracking(nums, 0);
return result;
}
};
3.2子集 II
这个题目这里存在了重复元素，所以就涉及到一个去重的问题，我们可以增加一个used数组来实现去重的过程
class Solution {
public:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex, vector<bool> used){
result.push_back(path);
if(startIndex >= nums.size()) return;
for(int i = startIndex; i < nums.size(); i++){
//相同的元素可以同时使用，但是不可以非同时使用
if(i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) continue;
path.push_back(nums[i]);
used[i] = true;
backtracking(nums, i + 1, used);
used[i] = false;
path.pop_back();
}
}
vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) {
vector<bool> used(nums.size(), false);
sort(nums.begin(), nums.end());
backtracking(nums, 0, used);
return result;
}
};
4.排列问题
前面的组合问题，元素之间的无序并不影响结果，而在组合问题中，元素顺序不一致表示不同的结果。下面为全排列的问题。
4.1全排列
在这里used数组的作用就不是为了实现去重的功能了，不过也是为了标记元素的使用情况。
class Solution {
public:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& nums, vector<bool>& used){
if(path.size()==nums.size()){
result.push_back(path);
return;
}
for(int i = 0; i < nums.size(); i++){
if(used[i] == true) continue;//path里面已经收录了
used[i] = true;
path.push_back(nums[i]);
backtracking(nums, used);
path.pop_back();
used[i] = false;
}
}
vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
vector<bool> used(nums.size(), false);
backtracking(nums, used);
return result;
}
};
4.2全排列II
当全排列问题中数组存在相同元素的时候，这时就涉及到如何去重的问题
class Solution {
public:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& nums, vector<bool>& used){
if(path.size()==nums.size()){
result.push_back(path);
return;
}
for(int i = 0; i < nums.size(); i++){
// used[i - 1] == true，说明同一树枝nums[i - 1]使用过
// used[i - 1] == false，说明同一树层nums[i - 1]使用过
// 如果同一树层nums[i - 1]使用过则直接跳过
if(i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) continue;
if(used[i] == false){
used[i] = true;
path.push_back(nums[i]);
backtracking(nums, used);
path.pop_back();
used[i] = false;
}
}
}
vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {
sort(nums.begin(), nums.end());
vector<bool> used(nums.size(), false);
backtracking(nums, used);
return result;
}
};
5.棋盘问题
5.1N皇后问题
N皇后问题是回溯的经典应用
class Solution {
public:
vector<vector<string>> result;
//n为输入棋盘的大小，row为第几行了
void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard){
if(row == n){
result.push_back(chessboard);
return;
}
for(int col = 0; col < n; col++){
if(isValid(row, col, chessboard, n)){//验证合法性就可以放
chessboard[row][col] = 'Q';
backtracking(n, row + 1, chessboard);
chessboard[row][col] = '.';//回溯 撤销皇后
}
}
}
//用来检查皇后存放的位置是否合法
bool isValid(int row, int col, vector<string>& chessboard, int n){
//检查列:0度和180度角
for(int i = 0; i < row; i++){
if(chessboard[i][col] == 'Q') return false;
}
//行不需要检查（因为每行只能放一个皇后）
//检查45度角(主对角线)
for(int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--){
if(chessboard[i][j] == 'Q') return false;
}
//检查135度角（副对角线）
for(int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < n; i--, j++){
if(chessboard[i][j] == 'Q') return false;
}
return true;
}
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
vector<string> chessboard(n, string(n, '.'));
backtracking(n, 0, chessboard);
return result;
}
};
5.2解数独
解数独的设计到二维的回溯，题目的难度相较于前面的题目难度大，不过回溯的思路很明确，就是暴力搜索探测结果，一旦方向某个数填在的位置不可行，就立马回溯，重新选择其他数字
class Solution {
public:
bool backtracking(vector<vector<char>>& board){
for(int i = 0; i < board.size(); i++){
for(int j = 0; j < board[0].size(); j++){
if(board[i][j] == '.'){
for(char k = '1'; k <= '9'; k++){
if(isValid(i, j, k, board)){
board[i][j] = k;
//如果找到合适的一组立即返回
if(backtracking(board)) return true;
board[i][j] = '.';
}
}
//9个数字都试完了且都不行，那就直接返回
return false;
}
}
}
//如果都没有false返回，说明找到了合适的棋盘位置
return true;
}
bool isValid(int row, int col, char val, vector<vector<char>>& board){
//判断行是否重复
for(int i = 0; i < 9; i++){
if(board[row][i] == val) return false;
}
//判断列是否重复
for(int j = 0; j < 9; j++){
if(board[j][col] == val) return false;
}
//接下来判断小矩形9个方格里面是否重复
int startRow = (row / 3) * 3;
int startCol = (col / 3) * 3;
for(int i = startRow; i < startRow + 3; i++){
for(int j = startCol; j < startCol + 3; j++){
if(board[i][j] == val) return false;
}
}
//最后表示这个数字能够放在这个空格里面
return true;
}
void solveSudoku(vector<vector<char>>& board) {
backtracking(board);
}
};
6.其他问题
6.1递增子数列
这个题目和子集II很像，但是这个两个题目并不相同！这个题目不能够利用排序进行预处理，我们需要保持数组原本的次序的情况下，不要找到递增子序列，并且实现结果的去重操作
class Solution {
public:
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex){
if(path.size() > 1) result.push_back(path);
unordered_set<int> uset;//使用set对本层元素进行去重
for(int i = startIndex; i < nums.size(); i++){
if((!path.empty() && nums[i] < path.back()) || uset.find(nums[i]) != uset.end()){
continue;
}
uset.insert(nums[i]);//记录这个元素在本层已经用过了，本层之后不能再用了
path.push_back(nums[i]);
backtracking(nums, i + 1);
path.pop_back();
}
}
vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {
backtracking(nums, 0);
return result;
}
};