四棱锥与梯形：2010年理数全国卷题18

四棱锥与梯形：2010年理数全国卷题18

分值：12分

如图，已知四棱锥 的底面为等腰梯形，，垂足为 ， 是四棱锥的高， 为 中点.

（1）证明∶;

（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.

2010年理数全国卷

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【解答问题1】

又∵ 是等腰梯形,

∴

∴

∵ 平面 , 平面 ,

∴ .

∵ ,

∵ , 为 中点,

∴ ,

∴

又∵ , ∴

∴

,

∴ 平面 .

又∵ 平面 ,

∴ .

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【解答问题2】

由题设条件可知： 是等腰直角三角形

.

令 , 则 ,

平面 , ,

∴ .

,

∵ , 为 中点,

∴

记点 与平面 的距离为 , 则

直线 与平面 所成角的正弦值为 .

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【提炼与提高】

问题1中，由线线垂直推出线面垂直，再由线面垂直推出线线垂直。这是立体几何中的常见套路。

本题的特色在于：需要熟悉等腰梯形的性质。在目前的初中数学教材中，对平行四边形的性质讨论得较为详细，而梯形的性质显得过于简略。2010年的这个高考题提醒大家：不可大意。平面几何在高考中是要用的；梯形的性质也是会考到的。并没有超纲。

问题2中，灵活应用体积公式，即可求出点 与平面 的距离，并不需要知道垂足的具体位置。这个也是立体几何的常见套路。

用向量法来解决也是可以的，然而并没有本质区别。解答本题的关键在于：要找到几个直角，并求出相关线段的长度.

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