快速排序(三)——hoare法

目录

​一.前言

二.快速排序

hoare排法​

三.结语


一.前言

本文给大家带来的是快速排序,快速排序是一种很强大的排序方法,相信大家在学习完后一定会有所收获。

码字不易,希望大家多多支持我呀!(三连+关注,你是我滴神!)

二.快速排序

快速排序是Hoare与1962年提出的一种二叉树结构的交换排序方法,其基本思想为:任取待排序元素排序中的某元素作为基准值,按照该排序码将待排序集合分割成两子序列,左子序列中所有元素均小于基准值,右子序列中所有元素均大于基准值,然后最左右子序列重复该过程,直到所有元素都排列在相应位置上为止。

快速排序(三)——hoare法_第1张图片

上述为快速排序递归实现的主框架,发现于二叉树前序遍历规则非常像,同学们在写递归框架时可想想二叉树前序遍历规则即可快速写出来,后序只需分析如何按照基准值来对区间中数据进行划分的方式即可。 

今天我们来学习的是第一种版本:

hoare排法

下面是动态图例: 

快速排序(三)——hoare法_第2张图片

开始解析: 

快速排序(三)——hoare法_第3张图片

简单点讲就是我们找到一个数成为key,然后从右边出发找到比key小的数(如5)

快速排序(三)——hoare法_第4张图片

然后左边再出发找比key大的数(如7)

快速排序(三)——hoare法_第5张图片

然后让这两个值交换,意义是把比key小的值尽量放左边,比key大的值尽量放右边

快速排序(三)——hoare法_第6张图片

交换完之后呢,右边再继续找小(如4)

快速排序(三)——hoare法_第7张图片

左边也继续找大(如9)

快速排序(三)——hoare法_第8张图片

然后两者再进行交换

快速排序(三)——hoare法_第9张图片

再继续找小(如3)

快速排序(三)——hoare法_第10张图片

再继续找大,但没找到反而相遇了,那就停下

快速排序(三)——hoare法_第11张图片

然后最让key与相遇的位置交换

快速排序(三)——hoare法_第12张图片

最后我们发现比key小的都在其左边,比key大的都在右边了。

快速排序(三)——hoare法_第13张图片

右边找比key小的值找到后停下换左边找比key大的值然后也停下最后二者交换,直到key到达最终位置。

所以单趟的意义就是使key到达正确(排好序要放的位置)

老规矩,我们先来分析一下单趟排序代码:

快速排序(三)——hoare法_第14张图片

那不妨想一想如果key左边5个数有序,右边4个数也有序,那么就完成排序的目的了。

而这又与我们之前学习的二叉树遍历很像,根,左子树,右子树遍历,再对左子树进行分割根,左子树,右子树遍历——前序遍历。

当我们把这个想象成二叉树分治遍历,那么就是排序全部完成的时候了。

快速排序(三)——hoare法_第15张图片

我们可以快速来一遍单趟,设3为key,然后右边找小(2),左边找大(没找到相遇了),与key交换。 

快速排序(三)——hoare法_第16张图片

3不用动了,再分割出左边选一个key出来。 

快速排序(三)——hoare法_第17张图片​ 

继续右边找小(找不到)交换。 

快速排序(三)——hoare法_第18张图片​ 

我们把它看成二叉树,当排好最后一组时开始往回递归,遇到key为2的一组时再往右递进,发现是空子树回归,然后继续往上到key为3的一组,对其右子树(5 4 )继续递进。

快速排序(三)——hoare法_第19张图片

至此,左边排序已经排好了。 

快速排序(三)——hoare法_第20张图片​ 

 这样对右子树(6右边的排序)持续下去结束后,整个数组的排序完成。

 接下来是代码部分:

int PartSort(int* a, int left, int right)
{
	int key = a[left];
	while (left < right)
	{
		//找小
		while (a[right] > key)
		{
			right--;
		}
		//找大
		while (a[left] < key)
		{
			left++;
		}
		Swap(&a[right], &a[left]);
	}
	Swap(key, &a[left]);
	return left;
}

我们定好key下标,首先当left与right相遇的时候(left==right)才会让key交换,所以我们第一层循环用的是left

然后是找大和找小我们第二层循环就正常比较大小++和--就行了。

我们作好大体框架再从细节处出发(找bug):

当我们修改数组中的2个数字再次排序时。

快速排序(三)——hoare法_第21张图片

我们会发现left与right都会在6这个位置停下,这样造成的结果就是死循环!

所以我们需要修改条件

快速排序(三)——hoare法_第22张图片

而在我们处理好上面这个问题后又会出现新问题:数组越界 

快速排序(三)——hoare法_第23张图片

可以发现如果是如图中数组,那么right就会不断--移出数组外造成越界问题。

快速排序(三)——hoare法_第24张图片

所以需要添加条件(让right--时遇到left就停下,避免越界),left同理。 

int PartSort(int* a, int left, int right)
{
	int key = a[left];
	while (left < right)
	{
		//找小
		while (left= key)
		{
			right--;
		}
		//找大
		while (left < right && a[left] <= key)
		{
			left++;
		}
		Swap(&a[right], &a[left]);
	}
	Swap(&key, &a[left]);
	return left;
}

还有一个问题:当key发生交换的时候只是数值发生了交换,但key还是在原来的位置,所以我们需要把它移动到交换后的位置。

快速排序(三)——hoare法_第25张图片

这样就可以

int PartSort(int* a, int left, int right)
{
	int keyi = left;
	while (left < right)
	{
		//找小
		while (left= a[keyi])
		{
			right--;
		}
		//找大
		while (left < right && a[left] <= a[keyi])
		{
			left++;
		}
		Swap(&a[right], &a[left]);
	}
	Swap(&a[keyi], &a[left]);
	return left;
}

接下来就是处理分治问题: 

void QuickSort(int* a, int begin, int end)
{
	int keyi = PartSort(a, begin, end);
	//[begin,keyi-1]key[keyi+1,end]
	QuickSort(a, begin, keyi - 1);
	QuickSort(a, keyi + 1, end);

}

快速排序(三)——hoare法_第26张图片

然后我们需要制定一个结束的条件:

  • 只有一个数的时候(left==right)结束
  • 没有数的时候(left>right)

void QuickSort(int* a, int begin, int end)
{
	if (begin >= end)
	{
		return;
	}
	int keyi = PartSort(a, begin, end);
	//[begin,keyi-1]key[keyi+1,end]
	QuickSort(a, begin, keyi - 1);
	QuickSort(a, keyi + 1, end);

}

下面这是递归展开图: 

快速排序(三)——hoare法_第27张图片

我们来用100万个随机数来测试一下快排的性能

快速排序(三)——hoare法_第28张图片

可以看到快排的效率是名不虚传的~

在我们写完快排后再来回顾几个问题:

为什么相遇的位置一定比key小呢?

如果相遇的位置比key大,那交换肯定是会出问题的。

快速排序(三)——hoare法_第29张图片

快速排序(三)——hoare法_第30张图片

我们重新按原位置开始走,当快要相遇时,在R先走的情况下 ,能让R停下的是比key小的3。这样是让L走然后与R相遇。验证了R先走,相遇值比key小。

快速排序(三)——hoare法_第31张图片

如果一开始是L先走,走到同样情景时,因为是L先走它会去找比key大的数,就这样找到了9,也与R相遇,但这样最后交换是错误的,相遇的位置比key大。

快速排序(三)——hoare法_第32张图片

我们再换一种情况,把3换成10:

快速排序(三)——hoare法_第33张图片

我们会发现如果是R先走,那么它会找小,最后越过10找到了4并与L相遇.因为L的位置一定是比key小的数字,毕竟它下标对应的数字是由R(负责找比key小的数字)找到并交换过来的。验证了R先走,相遇值比key小。

快速排序(三)——hoare法_第34张图片

如果是L先走呢?在10停下后等R相遇然后交换,最后发现交换是错误的,因为出现了左边(10)比key(6)大的情况,相遇值比key大。

快速排序(三)——hoare法_第35张图片

最后是一种极端情况:在几乎是升序的数组里R从右边先走直到和L相遇,相遇的位置没有比key小。交换后对其右边的一组数值再进行分治划分,

快速排序(三)——hoare法_第36张图片​ 

经过这几种情况分析我们可以发现,如果是L先走然后相遇值都是比key大的,并且交换都会出现错误。而在R先走然后相遇值都是比key小的,并且交换不会出现错误。

相信大家应该发现了,key在左边的时候我们就让右边先走,key在右边的时候我们让左边先走。

因为当key在左边的时候我们要确保最后的相遇值是比key小的,这样交换过来才能符合升序的规则,所以我们让R先走确保它找到的值一定是小的。同理key在右边时我们要确保交换过来的相遇值要比key大,这样才能符合升序规则,而让L先走就一定能确保它找到的是比key大的值。

最终我们需要学会根据key的位置不同,升序降序的规则不同合理作出相应的变化~

下面我们来分析快排的第二个问题:快排的效率分析

假设我们每一次选出的key都是中位数就会呈现出这种情况

快速排序(三)——hoare法_第37张图片

我们可以看到每一层的单趟排序其实都可以看作是N次执行(在数很多的情况下),因为每一层合计起来也差不多是N这个量级。

快速排序(三)——hoare法_第38张图片

而它的高度是logN,这样它的总的时间复杂度度就是O(N*logN)

快速排序(三)——hoare法_第39张图片

但这只是比较理想的情况下,如果是在接近有序的情况下,它的高度就会变成N,这样时间复杂度的就会是O(N^2)

快速排序(三)——hoare法_第40张图片

为了避免快排在有序的情况下效率受到干扰,我们设置了一个叫三数取中的方法。(不是位置取中,而是数值取中)

改变选key的策略,不再是固定选左边的值作key,但如果是中间的值作key又是先走左边还是右边呢,这样也会影响到单趟排序。其实我们可以一直选左边的值作key,就算你选到的key在中间把它换到左边就行了。

这样无论是有序还是无序最终key的交换落点都能尽量落到与下图差不多的位置,避免了有序时算法效率的损耗。

快速排序(三)——hoare法_第41张图片

最终代码: 

int GetMidi(int* a, int left, int right)
{
	int mid = (left + right) / 2;
	// left mid right
	if (a[left] < a[mid])
	{
		if (a[mid] < a[right])
		{
			return mid;
		}
		else if (a[left] > a[right])  // mid是最大值
		{
			return left;
		}
		else
		{
			return right;
		}
	}
	else // a[left] > a[mid]
	{
		if (a[mid] > a[right])
		{
			return mid;
		}
		else if (a[left] < a[right]) // mid是最小
		{
			return left;
		}
		else
		{
			return right;
		}
	}
}


int PartSort(int* a, int left, int right)
{
	int midi = GetMidi(a,left,right);
	Swap(&a[midi], &a[left]);
	int keyi = left;
	while (left < right)
	{
		//找小
		while (left= a[keyi])
		{
			right--;
		}
		//找大
		while (left < right && a[left] <= a[keyi])
		{
			left++;
		}
		Swap(&a[right], &a[left]);
	}
	Swap(&a[keyi], &a[left]);
	return left;
}

void QuickSort(int* a, int begin, int end)
{
	if (begin >= end)
	{
		return;
	}
	int keyi = PartSort(a, begin, end);
	//[begin,keyi-1]key[keyi+1,end]
	QuickSort(a, begin, keyi - 1);
	QuickSort(a, keyi + 1, end);

}

4b12323f94834afd9ec146a3c10df229.jpeg三.结语

本次我们介绍了hoare的快排法,相信大家都发现了有很多的坑点需要我们注意,不过放心,下一篇文章我会介绍在原基础上优化更加的其他快排法~最后感谢大家的观看,友友们能够学习到新的知识是额滴荣幸,期待我们下次相见~

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