高中奥数 2021-10-30

2021-10-30-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P093 例4）

四边形内接于,对角线交于P.设、、、的外接圆圆心分别为、、、.求证:、、三线共点.

证明

如图,作以为反演中心、关于的幂为反演幂的反演变换.

图1

则反演为本身,反演为四边形各边所在的直线,过点的直线也反演为本身.

由于直线与正交,因此,它们的反形也正交,即.

又易知,则.

同理,.

因此,四边形为平行四边形,与互相平分.

同理,与互相平分.

故、、交于的中点.

2021-10-30-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P093 例5）

已知圆外一点,由向圆引两条切线,切点分别为、过点作直线,与圆交于两点、,且满足.若与交于点,与交于点,与的中垂线交于点.证明:、、、四点共圆.

证明

由配极性质3可知(、、、)为调和点列,而,故由调和点列的有关性质知.

如图,设的外接圆与交于点.

图2

则,即点在的中垂线上.

从而,.

因此,、、、四点共圆

2021-10-30-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P094 例6）

如图,为圆的直径,直线切于.、、在上满足,又设、交于、,切线、交于.求证:在上.

图3

证明

过作平行线,则、,、成调和线束,过圆心,为切线,,所以为圆的切线,于是,(过的切线)、、、成调和线束,因此结合定理2有,四边形为调和四边形,根据定理3,为直线的极点,因此在直线()上.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P094 例7）

如图,的内切圆切、、于、、,与的另一个交点,、分别交于、.又记中点为.若,求证:.

图4

证明

连结,设与交于,由定理3知,四边形为调和四边形,于是(过的切线)、,、成调和线束,或、、、成调和线束,结合即知,同理,,故.

2021-10-30-05

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P094 例8）

如图,设凸四边形对角线交于点.,的外接圆交于,两点,直线分别交,的外接圆于,两点.求证:是线段的中点(2006年女子数学奥林匹克)

图5

证明

以为反演中心,单位长度为反演半径作反演.

反形如图所示,则的充要条件是,即,这就等价于.

由上章性质2知,、,、成调和点列,于是.