高中奥数 2021-10-30

2021-10-30-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文反演与配极 P093 例4）

四边形内接于,对角线交于P.设、、、的外接圆圆心分别为、、、.求证:、、三线共点.

证明

如图,作以为反演中心、关于的幂为反演幂的反演变换.

图1

则反演为本身,反演为四边形各边所在的直线,过点的直线也反演为本身.

由于直线与正交,因此,它们的反形也正交,即.

又易知,则.

同理,.

因此,四边形为平行四边形,与互相平分.

同理,与互相平分.

故、、交于的中点.

2021-10-30-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文反演与配极 P093 例5）

已知圆外一点,由向圆引两条切线,切点分别为、过点作直线,与圆交于两点、,且满足.若与交于点,与交于点,与的中垂线交于点.证明:、、、四点共圆.

证明

由配极性质3可知(、、、)为调和点列,而,故由调和点列的有关性质知.

如图,设的外接圆与交于点.

图2

则,即点在的中垂线上.

从而,.

因此,、、、四点共圆

2021-10-30-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文反演与配极 P094 例6）

如图,为圆的直径,直线切于.、、在上满足,又设、交于、,切线、交于.求证:在上.

图3

证明

过作平行线,则、,、成调和线束,过圆心,为切线,,所以为圆的切线,于是,(过的切线)、、、成调和线束,因此结合定理2有,四边形为调和四边形,根据定理3,为直线的极点,因此在直线()上.

2021-10-30-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文反演与配极 P094 例7）

如图,的内切圆切、、于、、,与的另一个交点,、分别交于、.又记中点为.若,求证:.

图4

证明

连结,设与交于,由定理3知,四边形为调和四边形,于是(过的切线)、,、成调和线束,或、、、成调和线束,结合即知,同理,,故.

2021-10-30-05

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷平面几何范端喜邓博文反演与配极 P094 例8）

如图,设凸四边形对角线交于点.,的外接圆交于,两点,直线分别交,的外接圆于,两点.求证:是线段的中点(2006年女子数学奥林匹克)

图5

证明

以为反演中心,单位长度为反演半径作反演.

反形如图所示,则的充要条件是,即,这就等价于.

由上章性质2知,、,、成调和点列,于是.