数学 三角函数 sin 正弦、cos 余弦、tan 正切、cot 余切、sec 正割、csc 余割 简介

目录

图解定义

文字定义

三角函数诱导公式

1.三角函数诱导公式记忆方法

2.三角函数诱导公式

诱导公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等

诱导公式二：π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系

诱导公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系

诱导公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系

诱导公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系

诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系

3.三角函数化简与求值时注意事项

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图解定义

正弦 （sine）, 余弦 （cosine） 和 正切 （tangent） （英语符号简写为 sin, cos 和 tan) 是 直角三角形 边长的比：

对一个特定的角 θ 来说，不论三角形的大小，
这三个比是不变的

正割 函数：		sec(θ) = 斜边 / 邻边		(=1/cos)
余割 函数：		csc(θ) = 斜边 / 对边		(=1/sin)
余切 函数：		cot(θ) = 邻边 / 对边		(=1/tan)

文字定义

在直角三角形中，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个 直角三角形，其中∠ACB为 直角。对∠BAC而言， 对边(opposite)a=BC、 斜边(hypotenuse)c=AB、邻边(adjacent)b=AC，则存在以下关系：

基本函数	英文	缩写	表达式	语言描述
正弦函数	sine	sin	a/c	∠A的对边比斜边
余弦函数	cosine	cos	b/c	∠A的邻边比斜边
正切函数	tangent	tan	a/b	∠A的对边比邻边
余切函数	cotangent	cot	b/a	∠A的邻边比对边
正割函数	secant	sec	c/b	∠A的斜边比邻边
余割函数	cosecant	csc	c/a	∠A的斜边比对边

三角函数诱导公式

1.三角函数诱导公式记忆方法

奇变偶不变，符号看象限。即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。

诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：

k×π/2±a(k∈z)的三角函数值

（1）当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；

（2）当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

2.三角函数诱导公式

诱导公式一：终边相同的角的同一三角函数的值相等

设α为任意锐角，弧度制下的角的表示：

sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

诱导公式二：π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系

设α为任意角，弧度制下的角的表示：

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tan(π+α)=tanα

cot(π+α)=cotα

诱导公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系

sin(-α)=-sinα

cos(-α)=cosα

tan(-α)=-tanα

cot(-α)=-cotα

诱导公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系

sin(π-α)=sinα

cos(π-α)=-cosα

tan(π-α)=-tanα

cot(π-α)=-cotα

诱导公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系

sin(2π-α)=-sinα

cos(2π-α)=cosα

tan(2π-α)=-tanα

cot(2π-α)=-cotα

诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

sin(3π/2+α)=-cosα

cos(3π/2+α)=sinα

tan(3π/2+α)=-cotα

cot(3π/2+α)=-tanα

sin(3π/2-α)=-cosα

cos(3π/2-α)=-sinα

tan(3π/2-α)=cotα

cot(3π/2-α)=tanα

3.三角函数化简与求值时注意事项

①熟记特殊角的三角函数值；

②注意诱导公式的灵活运用；

③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。