高中奥数 2021-09-06

2021-09-06-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P034 习题12）

的外心为,,是中点,是的重心证明.

证明

设为高亦为中线,取中点,必在上且.

设交于,必为重心.

连结,,交于.

图1

易证:.

所以.

因为,,则.

但又是之垂心.

从而.

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2021-09-06-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P034 习题13）

交于点、,,过、、三点的圆分别交、于点、.证明:是的旁心.

证明

如图,连结、,由于,于是、、三点共线,同理,、、三点共线.

图2

连,.

所以外角平分,同理可证,外角平分,于是为在内的旁心.