webgl和threejs的坐标系以及坐标转换

一、模型坐标系和模型坐标

模型坐标系是用来描述模型内部构造的。它的原点是(0,0,0)

在模型坐标系下，定义的坐标，本文称之为模型坐标。当然你也可以有自己的命名。

物理建模的模型，由一个个小的三角形组成，每个三角形都有三个顶点组成。顶点的模型坐标是基于模型中心点的。中心点的坐标为(0,0,0)。

上图是个简单的正方形的模型，正方形长和宽为20。中心点在正方形的中心，中心点模型坐标为(0,0,0)，则其中四个顶点的模型坐标为

(-10,10,0)、(10,10,0)、(-10,-10,0)、(10,-10,0)

这些顶点的模型坐标不会随着模型具体的位置的变化而变化。

你可以把自己想成一个模型，你身高2米，当自己是个纸片人时，不考虑z坐标。你的中心点在两脚之间，你的头的模型坐标为(0,2,0)。当你的位置从上海移动到北京时，你的头的模型坐标仍然为(0,2,0)。不可能你人到了北京，你的头距离你的脚就3米了。

二、世界坐标系和世界坐标

世界坐标系是描述整个3D场景的。它的原点是(0,0,0)

我们将模型放置到世界坐标系中，默认是放到原点的。

这里切记，并不是说模型坐标的原点在(0,0,0)，模型放在世界坐标系中，就是放在世界坐标系的中心点。虽然都是(0,0,0)，但是意义是不一样的。

更多时候我们需要把模型放在世界坐标系原点以外的地方，那么这时候就需要进行变换。这些变换包括平移、旋转和缩放，我们称之为模型变换（model matrix）。图形学中用矩阵去描述这些变换。

你可以想象一下，孙悟空出厂设置在世界中心点，他跑步，翻跟头、放大、缩小着去取经了，他的世界坐标不断在变化着。

现在再看模型的这些顶点，在模型坐标系中它有自己的模型坐标，在世界坐标系中，它又有自己的世界坐标。

仍以上面的正方形模型为例。如果我们把模型沿世界坐标系的x轴移动10个单位，那么各顶点的世界坐标为

(0,10,0)、(20,10,0)、(0,-10,0)、(20,-10,0)

但是各顶点的模型坐标仍为

(-10,10,0)、(10,10,0)、(-10,-10,0)、(10,-10,0)

如何验证顶点的模型坐标不会变化这个问题呢，我们写一个简单的代码。

const box = new THREE.PlaneGeometry(20, 20);
const mesh = new THREE.Mesh(box, new THREE.MeshBasicMaterial({ color: new THREE.Color(0xffffff) }));

我们没有对这个正方形的模型进行任何的变换，它默认是在世界坐标的(0,0,0)位置。我们看到顶点坐标是这样的。

然后我们对正方形沿着x轴方向移动10个单位(mesh.translateX(10)，我们打印看一下，顶点坐标仍是上图中显示的那样。

那问题来了，我们如何知道顶点的世界坐标呢？？？模型坐标与模型的世界变换矩阵相乘就得到了世界坐标

我们可以手动计算，代码如下：

const array = mesh.geometry.getAttribute('position').array;
const size = mesh.geometry.getAttribute('position').count;
mesh.updateMatrixWorld();
for (let i = 0; i < size; i += 1) {
    console.log(
        new THREE.Vector3(array[i * 3 + 0], array[i * 3 + 1], array[i * 3 + 2]).applyMatrix4(mesh.matrixWorld),
    );
}

打印结果如下：

threejs中的matrix和matrixWorld

matrix：局部变换矩阵。我们可以理解为模型和模型父级坐标的变换。如果该模型没有父级，则模型坐标乘以matrix就是世界坐标了。

matrixWorld：世界坐标矩阵。若这个模型没有父级，那它和matrix是一样的。模型坐标乘以matrixWorld就是世界坐标。

我们用代码去验证：

const box = new THREE.PlaneGeometry(20, 20);
const mesh = new THREE.Mesh(box, new THREE.MeshBasicMaterial({ color: new THREE.Color(0xffffff) }));
mesh.translateX(10);
scene.add(mesh);

打印mesh，可以看到当mesh没有父级时matrix和matrixWorld相同

我们将模型放置在一个父级中再放入到场景，执行代码

const box = new THREE.PlaneGeometry(20, 20);
const mesh = new THREE.Mesh(box, new THREE.MeshBasicMaterial({ color: new THREE.Color(0xffffff) }));
mesh.translateX(10);
const group = new THREE.Group();
group.translateX(10);
group.add(mesh);

我们看到下图中，模型的世界变换矩阵为(group.matrix)*(mesh.matrix)。世界变换矩阵是两次变换矩阵相乘的结果。

最后用一张图来描述模型坐标系到世界坐标系的转换，这张图来自opengl的学习文档

把模型通过旋转、平移、缩放等操作，放置到世界坐标系下，现在模型每个顶点处于世界坐标系下，变化矩阵*顶点的模型坐标，就得到了模型顶点在世界坐标系下的世界坐标。

三、观察坐标系和观察坐标

在3D场景中，我们引入了相机的概念。

相机的三要素：原点(0,0,0)，朝向z轴的负方向，向上方向，也就是threejs中相机的up方向为y轴正方向。这三个要素构成了观察坐标系

一般我们的相机的位置坐标不会设置在原点，这样相机就做了平移的变化。如我们把相机位置设置在(0,0,1000)的位置，我们查看相机的局部变换矩阵，这里查看相机的变换矩阵。

在此改变基础上，我再修改相机的up方向为(1,0,0)，即up方向为x轴的正方向。我们再查看相机的变换矩阵

了解旋转矩阵的可以看出来，相机进行了一个旋转-90度且平移1000的操作。所以改变相机的up方向也会更新相机的变换矩阵。这两个改变同样可以在threejs相机对象的position和rotation属性中查看到。

世界坐标转观察坐标

我们想一下，相机向左动3个单位，世界坐标不变，那是不是和相机不动，世界坐标整体向右移动3个单位的效果是一样的。其他方向同样，旋转也同样逻辑。所以，要想获取到各个顶点在观察坐标系中的观察坐标，只需要执行如下操作

视图矩阵的逆矩阵*各顶点世界坐标

四、裁剪坐标系

到目前为止，我们已经得到了一个以相机为中心的观察坐标系了。但是观察坐标系中不是所有的模型都可以看到的。实际生活中，相机能够拍到范围是有限的，这就需要根据一些参数（比如人眼能看到的最近距离，以及最远距离，以及摄像机视锥体垂直视野角度）去裁剪观察坐标系可视范围。这个裁剪范围是由投影矩阵决定的。

一共有两种投影方式，透视投影和正交投影，透视投影更加符合生活，有近大远小的效果。而正交投影并不会有这样的效果。

如上图，投影就是物体到近平面的投影，正交投影比较简单，透视投影原理其实就是相似三角形。是缩放和平移变换。

上图中主要是x,y的转换，z的转换是个线性的，具体透视矩阵如何推导，这篇文章中不会去推导。本文主要讲各种坐标的意义以及坐标的转换。

裁剪矩阵变换如下（存储在threejs 的camera projectMatrix中）

注意：这里不做坐标转化，我们先将裁剪空间转为标准化空间后再做坐标转换。

五、标准化设备空间

接下来裁剪空间需要进一步转换称标准化设备空间，所以需要进一步的进行新一轮的坐标变换

这样我们就得到一个标准立方体了，也就是标准化设备空间。标准化设备矩阵是如下：

我们通过以下方式获得标准化设备坐标：

标准化设备矩阵*观察坐标

六、屏幕坐标

将标准化设备空间转换到屏幕坐标，这样物体就在屏幕上的合适位置显示了。

屏幕变换矩阵如下：

经过这样的转换，我们就可以在屏幕上看到场景中的模型了。

七、实操

为了更好的理解这些坐标的作用，我现在用planeGeometry绘制一个正方形，边长为1，然后正方形的世界坐标为（10，10，0.1），我们去计算一下正方形的屏幕坐标。

1. 正方形的模型坐标和模型坐标系如下：

2. 设置正方形坐标为（10，10，0.1），模型变换矩阵为 (m1)

3. 设置相机的坐标为（0，0，50），则观察坐标系和观察矩阵如下，注意，在坐标转换过程中我们用视图的逆矩阵（m2）

4. 设置透视相机，fov为60，near：0.1 far：1000，canvasWidth:1607,canvasHeight：915。 计算裁剪矩阵

注意，near和far在裁剪坐标系中为-0.01和-1000，所以在下图计算时请注意看前面的符号

5. 将4的裁剪空间，转成标准化空间[-1,1]的立体空间中，坐标转换如下：(m3)

6. 屏幕坐标系以及坐标矩阵转换，坐标转换如下：(m4)

dom.getBoundingClientRect().left = 0，dom.getBoundingClientRect().left = 79

经过 m1、m2、m3、m4四次矩阵变换，position最终转换为屏幕坐标（961，378）

然后去电脑屏幕上验证一下确实是（961，378）

总结

如何将一个世界坐标下的模型，绘制到屏幕上呢？

屏幕变换*标准设备变换*视图变换*模型变换*模型坐标