量化交易平台Quantopian讲座(11)—统计矩

均值与方差是我们用来描述一个分布的最常见两个特征值，回想下计算方差时，分母为每个观测值与均值的偏离值平方之和，

方差公式

在很多情况下，均值与方差对于描述一个分布的特征来说还是不够的，这里就要引入矩（moments）的概念，矩定义如下

矩定义

可以看到方差对应k=2的情况，而本篇文章就主要来介绍k=3与k=4的情况，此时对应得到的特征值称为偏度与峰度。

偏度（Skewness）

偏度表示一个分布的对称情况，拿正态分布来说，其概率密度函数为

正态分布概率密度函数

从概率密度函数就可以看出其图形应该是关于x=μ对称的，我们绘制一个均值为0的正态分布，来证实下这个结论。

正态分布对称

如果一个分布不对称，我们就称其为偏态分布。如果分布中存在一些偏离较大的负数据，那么就称为负偏，相反，如果存在偏离较大的正数据，则称为正偏。

1. 对称的分布，则其偏度为0
2. 正偏的分布，其偏度>0，均值>中位数>众数（出现最多的数据）
3. 负偏的分布，其偏度<0，均值<中位数<众数（出现最多的数据）

偏度的定义式：

偏度定义式

我们绘制两个概率函数，一个正偏一个负偏，这里我们使用对数正态分布（正偏）作为数据来源，通过数据的方向处理，就能得到负偏的图形。

正偏与负偏

峰度（Kurtosis）

峰度是代表在均值处峰值高低的特征值。对于正态分布来说，其峰度称为常峰度，所有的正态分布，不论均值与方差，其峰度均为3

• 高峰度 峰度>3
• 低峰度 峰度<3
  以3为基准，将X-3称之为超额峰度

使用SciPy库，我们绘制一套高峰度、低峰度、常峰度的图形

示例代码

示例图形

峰度的定义公式：

峰度公式

Jarque-Bera检验实例

Jarque-Bera检验是一个常用的检验，它通过对比样本的峰度与偏度来确定样本与正态分布的相似程度。这里我们将对标普500ETF的收益情况进行一次检验，并得到其P值。
Jarque-Bera检验的原假设是样本是从符合正态分布的总体中抽取出来的，如果最终得到的p值小于置信度，则可以拒绝该假设，相反，则可以接受原假设。

Jarque-Bera检验

注：最终得到标普500ETF的收益情况不符合正态分布的结论

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