数论知识学习总结（二）

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一、欧拉函数

在数论，对正整数$n$，欧拉函数是小于等于$n$的正整数中与$n$互质的数的数目.

1.欧拉函数

$1\sim N$ 中与 $N$ 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为 $\varphi (N)$ 。
若在算数基本定理中， $N=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\dots p_m^{a_m}$ ，则：$\varphi (N)=N\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \dots \times \frac{p_m-1}{p_m}$
其中$p_1$~$p_m$为$m$个互不相同的质数。
证明：
可以由容斥原理证明。

1. 删去$p_1,p_2,...,p_m$的倍数
2. 加上$p_1{p}_2,p_1{p}_3,...$的倍数
3. …

$\varphi (n)=N-(\frac{N}{p_1}+\frac{N}{p_2}+...\frac{N}{p_m})+(\frac{N}{p_1{p}_2}+\frac{N}{p_1{p}_3}+...)-(\frac{N}{p_1{p}_2{p}_3}+\frac{N}{p_1{p}_2{p}_4}+...)+...$
整理一下可得：$\varphi (N)=N\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \dots \times \frac{p_m-1}{p_m}$
ex：
$\varphi (6)=6\ast \frac{1}{2}\ast \frac{2}{3}=2$


相关题目：AcWing 873. 欧拉函数

#include 

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while(n --)
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        int phi = x;
        for(int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        {
            if(x % i == 0)
            {
                phi = phi / i * (i - 1);
                while(x % i == 0) x /= i;
            }
        }
        if(x > 1) phi = phi / x * (x - 1);
        printf("%d\n", phi);
    }
    
    return 0;
}

2.筛法求欧拉函数(采用筛质数的线性筛法)

设$p_j$是1~$i$中的一个质数，对于一个欧拉函数$\varphi (i)$有如下性质：

1. 若$i$为一个质数，则1~$i$中一定有$\varphi (i)=i-1$

2. 若$p_j$不是$i$的最小质因子，可得$i$的最小质因子一定比$p_j$大，所以有：$$\varphi (i)=i\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \dots \times \frac{p_m-1}{p_m}\text{\hspace{1em}(1)}$$
   则$p_j$一定是$i\times p_j$的最小质因子，有：$$\varphi (i\times p_j)=i\times p_j\times \frac{p_j-1}{p_j}\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \dots \times \frac{p_m-1}{p_m}\text{\hspace{1em}(2)}$$
   将(1)带入(2)中有：
   $$\varphi (i\times p_j)=\varphi (i)\times (p_j-1)$$

3. 若$p_j$是$i$的最小质因子，所以有：$$\varphi (i)=i\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \dots \times \frac{p_j-1}{p_j}\times \dots \times \frac{p_m-1}{p_m}\text{\hspace{1em}(1)}$$
   则$p_j$一定是$i\times p_j$的最小质因子，有：$$\varphi (i\times p_j)=i\times p_j\times \frac{p_1-1}{p_1}\times \frac{p_2-1}{p_2}\times \dots \times \frac{p_j-1}{p_j}\times \dots \times \frac{p_m-1}{p_m}\text{\hspace{1em}(2)}$$
   将(1)带入(2)中有：
   $$\varphi (i\times p_j)=p_j\times \varphi (i)$$

相关题目：Acwing 874. 筛法求欧拉函数

#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e6 + 10;

int primes[N], cnt;
int phi[N];
bool st[N];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if(!st[i])
        {
            phi[i] = i - 1;
            primes[cnt ++ ] = i;
        }
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            int t = i * primes[j];
            st[t] = true;
            if(i % primes[j] == 0)
            {
                phi[t] = phi[i] * primes[j];
                break;
            }
            phi[t] = phi[i] * (primes[j] - 1);
        }
    }
    LL res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ) res += phi[i];
    printf("%lld\n", res);
    
    return 0;
}

二、快速幂

1.快速幂

对于求$a^k$，朴素做法是将$a$累乘$k$次，其时间复杂度为$O(n)$！有一种特别求幂的方法可以将时间复杂度降低到$O(logn)$！
做法：

1. 先预处理$a^{2^0},a^{2^1},a^{2^2},...,a^{2^{logk}}$，花费的时间为：$logk$
2. 其中$a^{2^1}=(a^{2^0}{)}^2,a^{2^2}=(a^{2^1}{)}^2,......,a^{2^{logk}}=(a^{2^{logk}-1}{)}^2$，结论每一个$a$都可以写成上一个$a$的平方！
3. 可以将$a^k$拆成$a^{2^{x_1}}\times a^{2^{x_2}}\times a^{2^{x_3}}\times ......\times a^{2^{x_t}}$
4. $a^k=a^{2^{x_1}+2^{x_2}+......+2^{x_t}}$，即$k=2^{x_1}+2^{x_2}+......+2^{x_t}$，为$k$的二进制数的表示！

相关题目：AcWing 875. 快速幂

#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

LL qmi(int a, int b, int p)
{
    LL res = 1 % p;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while(n -- )
    {
        int a, b, p;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &p);
        printf("%lld\n", qmi(a, b, p));
    }
    
    return 0;
}

时间复杂度：$O(logn)$

2.快速幂求逆元

乘法逆元的定义:
若整数 $b,m$ 互质，并且对于任意的整数 $a$ ，如果满足 $b\mid a$ ，则存在一个整数 $x$ ，使得 $a/b\equiv a\times x(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ ，则称 $x$ 为 $b$ 的模 $m$ 乘法逆元，记为 $b^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ 。 $b$ 存在乘法逆元的充要条件是 $b$ 与模数 $m$ 互质。当模数 $m$ 为质数时， $b^{m-2}$ 即为 $b$ 的乘法逆元。
欧拉定理：
设 $a,m\in N^{+}$，且 $\gcd (a,m)=1$ ，则我们有:
$$a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$
小费马定理：
如果$p$是一个质数，而整数$a$不是$p$的倍数，则有$a^{p-1}\equiv 1(modp)$。
证明：可以由欧拉定理求得，$p$是一个质数，则有$\varphi (p)=p-1$，即可得到$a^{p-1}\equiv 1(modp)$
相关题目链接：AcWing 876. 快速幂求逆元

#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

LL qmi(int a, int b, int p)
{
    LL res = 1 % p;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a % p;
        a = (LL) a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while(n -- )
    {
        int a, p;
        scanf("%d%d", &a, &p);
        LL t = qmi(a, p - 2, p);
        if(t * a % p == 1) printf("%lld\n", t);
        else puts("impossible");
    }
    return 0;
}

三、扩展欧几里得算法

1.扩展欧几里得算法

裴蜀定理： 若$a,b$是整数,且$gcd(a,b)=d$，那么对于任意的整数$x,y$,$ax+by$都一定是$d$的倍数，特别地，一定存在整数$x,y$，使$ax+by=d$成立。

$ax+by=d$，对于下一状态：$exgcd(b,a\%b,y,x)$，有方程：$by+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b)x=d$，整理一下：$ax+b(y-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times x)=d$
AcWing 877. 扩展欧几里得算法

#include 

using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while(n -- )
    {
        int a, b, x, y;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        exgcd(a, b, x, y);
        printf("%d %d\n", x, y);
    }
    
    return 0;
}

2.线性同余方程

求出一个$x_i$使得$a_i\times x_i\equiv b_i\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i\right)$成立。
对于$a\times x\equiv b\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m\right)$，一定有：$ax=dm+b\Rightarrow ax-dm=b$，令$-d=y$
则有$ax+my=b$，最后做法如上所述！
AcWing 878. 线性同余方程

#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    if(!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    LL d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while(n -- )
    {
        LL a, b, m;
        scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &m);
        LL x, y;
        LL d = exgcd(a, m, x, y);
        if(b % d) puts("impossible");
        else printf("%lld\n", x * b / d % m);
    }
    
    return 0;
}

四、中国剩余定理

1.表达整数的奇怪方式

中国剩余定理： 假设整数$m_1,m_2,...,m_n$两两互质，则对任意的整数：$a_1,a_2,...,a_n$，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
$$\{\begin{array}{c}x\equiv a_1\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1\right)\\ x\equiv a_2\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2\right)\\ ⋮\\ x\equiv a_n\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_n\right)\end{array}$$

我们可以两两进行构造，$\{\begin{array}{c}x\equiv a_1\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1\right)\\ x\equiv a_2\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2\right)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=k_1{m}_1+a_1\\ x=k_2{m}_2+a_2\end{array}$
有$k_1{m}_1+a_1=k_2{m}_2+a_2\Rightarrow k_1{m}_1-k_2{m}_2=a_2-a_1$
该方程有解的条件是$(m_1,m_2)|a_2-a_1$


二元一次不定方程的通解形式：
若二元一次不定方程 $ax+by=n$ 有解， $x_0,y_0$ 为它的一组整数解，则通解为
$$\{\begin{array}{l}x=x_0+\frac{b}{(a,b)}\cdot t\\ y=y_0-\frac{a}{(a,b)}\cdot t\end{array}t\in Z$$
所以$k_1{m}_1-k_2{m}_2=a_2-a_1$的通解有$\{\begin{array}{l}{k}_1+\frac{m_2}{d}\cdot K\\ k_2+\frac{m_1}{d}\cdot K\end{array}K\in Z$
将其最小的一个通解带入$x=k_1{m}_1+a_1$，有$x=k_1{m}_1+\frac{m_2}{d}{m}_{1}K+a_1$
整理一下有：$x=k_1{m}_1+a_1+K\frac{m_1{m}_2}{d}$,$x=x_0+ka$
AcWing 204. 表达整数的奇怪方式

#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    if(!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);

    LL m1, a1;
    bool flag = true;
    scanf("%lld%lld", &a1, &m1);
    for(int i = 0; i < n - 1; i ++ )
    {
        LL m2, a2;
        scanf("%lld%lld", &a2, &m2);
        LL k1, k2;
        LL d = exgcd(a1, a2, k1, k2);
        if((m2 - m1) % d)
        {
            flag = false;
            break;
        }
        LL t = a2 / d;
        k1 *= (m2 - m1) / d;

        k1 = (k1 % t + t) % t;

        m1 += a1 * k1;
        a1 = abs(a1 / d * a2);
    }

    if(flag) printf("%lld\n", (m1 % a1 + a1) % a1);
    else puts("-1");

    return 0;
}