解析损失函数之categorical_crossentropy loss与 Hinge loss

冒泡~那天伙伴说，看我的是动力，就突然发现很久没有更了。最近实验是遇到了瓶颈，死活卡在了最后的Merge上...值得做的事情都不容易鸭。今天就再记录一下。

损失函数

在之前写期望风险的时候其实已经提过这个概念了，再补充一下

损失函数
定义：损失函数就一个具体的样本而言，模型预测的值与真实值之间的差距。
对于一个样本（xi,yi）其中yi为真实值，而f（xi）为我们的预测值。使用损失函数L（f(xi),yi）来表示真实值和预测值之间的差距。两者差距越小越好，最理想的情况是预测值刚好等于真实值。

进入正题~

categorical_crossentropy loss（交叉熵损失函数）

讲交叉熵损失函数，我想先从均方差损失函数讲起

均方差损失函数
简单来说，均方误差（MSE）的含义是求一个batch中n个样本的n个输出与期望输出的差的平方的平均值。比如对于一个神经元（单输入单输出，sigmoid函数）,定义其代价函数为
（其中y是我们期望的输出，a为神经元的实际输出【 a=σ(z), where z=wx+b 】。）：

在训练神经网络过程中，我们通过梯度下降算法来更新w和b，因此需要计算损失函数对w和b的导数：

然后更新w、b：
w <—— w - η* ∂C/∂w = w - η * a σ′(z)
b <—— b - η ∂C/∂b = b - η * a * σ′(z)
因为sigmoid函数的性质，导致σ′(z)在z取大部分值时会很小，这样会使得w和b更新非常慢（因为η * a * σ′(z)这一项接近于0）。

为了克服这个不足，引入了categorical_crossentropy（交叉熵损失函数）

categorical_crossentropy（交叉熵损失函数)

交叉熵是用来评估当前训练得到的概率分布与真实分布的差异情况。
它刻画的是实际输出（概率）与期望输出（概率）的距离，也就是交叉熵的值越小，两个概率分布就越接近。

公式如下:
（其中y为期望的输出，a为神经元实际输出）
【a=σ(z), where z=∑Wj * Xj+b】

同样进行求导：

从上图可以看到，导数中没有σ′(z)这一项，权重的更新是受σ(z)−y这一项影响，即受误差的影响，所以当误差大的时候，权重更新就快，当误差小的时候，权重的更新就慢。

性质：
a.非负性。（所以我们的目标就是最小化代价函数）
b.当真实输出a与期望输出y接近的时候，代价函数接近于0.(比如y=0，a～0；y=1，a~1时，代价函数都接近0)。

这边举一个简单的二分类例子：
预测为猫的p=Pr(y=1)概率是0.8，真实标签y=1；预测不是猫的1-p=Pr(y=0)概率是0.2，真实标签为0。

那么 loss=−(1∗log(0.8)+0∗log(0.2))=−log(0.8)。

详细解释--KL散度与交叉熵区别与联系

其余可参考深度学习(3)损失函数-交叉熵(CrossEntropy)
如何通俗的解释交叉熵与相对熵?

Hinge loss

在网上也有人把hinge loss称为铰链损失函数，它可用于“最大间隔(max-margin)”分类，其最著名的应用是作为SVM的损失函数。

二分类情况下

多分类
扩展到多分类问题上就需要多加一个边界值，然后叠加起来。公式如下：

举例：
栗子① △为1
假设有3个类cat、car、frog：

image.png

第一列表示样本真实类别为cat，分类器判断样本为cat的分数为3.2，判断为car的分数为5.1，判断为frog的分数为 -1.7。
hinge loss:

栗子②△取10

可参考（http://www.cnblogs.com/xiaojianliu/articles/10014598.html#_label1）
（https://blog.csdn.net/fendegao/article/details/79968994）

Ending~明天是冬至啦！提前的冬至快乐！
还是要干巴爹鸭！
emmm....考研的朋友加油！你会考上的鸭！