智能机器人与旋量代数(4)

2.2 特殊的群

三维移动群$T(3)$：

其中元素P的一般表达形式有两种，具有同构(isomorphism)关系：向量表达 $P=(P_1,P_2,P_3{)}^T$ 与反对称矩阵表达 $P⟼\hat{P}$.

其中：
[ 0 − P 3 P 2 P 3 0 − P 1 − P 2 P 1 0 ] \begin{bmatrix} 0 & -P_{3} & P_{2}\\ P_{3} & 0 & -P_{1}\\ -P_{2} & P_{1} & 0 \end{bmatrix} ​0P3​−P2​​−P3​0P1​​P2​−P1​0​ ​

$T(3)$ 也是交换群。

正交群 $O(n)$ 与特殊正交群 $SO(n)$ :

$n\times n$ 正交实数矩阵组成的的群称为正交群(Orthogonal Group)，记作 $O(n)$。更进一步地， $n\times n$单位正交实数矩阵所组成的群称为特殊正交群(Special Orthogonal Group)，记作 $SO(n)$。在日常研究中，我们考虑最多的是 $SO(2)$和 $SO(3)$ ，前者表示物体绕固定轴线的平面转动，后者表示物体绕某一固定轴线的空间转动。

特殊正交群 $SO(3)$ 也被称之为旋转矩阵群，是所有$3\times 3$实数矩阵$R$的集合，且满足：$①.R^{T}R=I;②.detR=1$.

注：$2\times 2$旋转矩阵是$SO(3)$的一个子群，记作$SO(2)$.

特殊正交群 $SO(2)$ 是所有 $2\times 2$ 实数矩阵$R$的集合，且满足：$①.R^{T}R=I;②.detR=1$.

由定义，每个$R\in SO(2)$都可以写为：

$$R=\left[\begin{array}{cc}{r}_{11}& r_{12}\\ r_{21}& r_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]$$

其中 $\theta \in [0,2\pi )$.

$SO(2)$中的各元素表示平面姿态，而$SO(3)$中的各元素表示空间姿态。

特殊欧式群$SE(3)$ (Special Euclidian Group)，其定义为$SO(3)$与向量空间$R^3$的半直积。
数学形式表达为：
$$SE(3)=SO(3)⋉R^3$$
可简记为$(R,P)$，并写成$4\times 4$矩阵表达形式：
$$(R,P)⟼\left[\begin{array}{cc}R& P\\ 0& 1\end{array}\right]$$
其二元运算满足： $(R_2,P_2)(R_1,P_1)=(R_2,R_1,R_2{P}_1+P_2)$

$4\times 4$ 矩阵形式：

$$\left[\begin{array}{cc}{R}_2& P_2\\ 0& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}{R}_1& P_1\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{R}_2{R}_1& R_2{P}_1+P_2\\ 0& 1\end{array}\right]$$

幺模群$U(n)$与特殊幺模群$SU(n)$

幺模群$U(n)$：$n\times n$正交实数矩阵在复数域的扩展。

特殊幺模群$SU(n)$: $n\times n$单位正交复数矩阵组成的群。

其中的子群 $SU(2)$可表示为：

let:
$$a^2+b^2+c^2+d^2=1,$$
we obtain:
$$\left[\begin{array}{cc}a+ib& c+id\\ -c+id& a-ib\end{array}\right]\in SU(2)$$