智能机器人与旋量代数(11)

3.2.2 旋量的基本概念

点、线、面是描述欧式几何空间的三个基本元素，而旋量(screw quantity)作为另外一个几何元素，由直线引申而来。根据Ball (1871) 的定义，“旋量是一条具有节距的直线”。简单而言，可以直观地将旋量视为一个机械螺旋。

旋量是含旋矩的线矢量，为几何量。也是李代数中通过原点的射线，是射影李代数$se(3)$中的元素。旋量集合构成五维射影空间。

速度旋量是附有速度幅值的旋量，用以描述刚体关于旋量轴线的运动，是李代数$se(3)$的元素，速度旋量可以表示为六维的李代数$se(3)$的伴随表示，与$R^6$同构。

力旋量是附有力幅值的旋量，是对偶李代数$s{e}^{\ast }(3)$的元素。与速度旋量构成互易关系的力旋量常表示为$R^6$中向量空间$s{e}^{\ast }(3)$的向量。

定义3.5 带有旋矩要素的线矢量即为旋量。线矢量$L$和旋矩$h$相结合即可得到旋量，旋量的六维向量形式为：
$$S=\left(\begin{array}{c}l\\ r\times l+hl\end{array}\right)=(s_x,s_y,s_z,s_{x0},s_{y0},s_{z0}{)}^T$$
其中，旋矩$h$为副部在主部的投影；$l$为线矢量$L$的姿态向量；向量$r$为姿态向量$l$的位置向量，它也是旋量的轴线。

旋量运算

互易旋量由Klein与Ball在1871年分别提出。两旋量的互易积可由Klein型表示，为:
$$Kl(S_1,S_2)=(S_1^T,S_2^T)\left[\begin{array}{cc}0& I\\ I& 0\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{S}_2\\ S_{20}\end{array}\right)=s_1\cdot s_{20}+s_2\cdot s_{10}$$
Note:互易积也称相互不变量，被Ball称之为虚系数。

Theory: 互易积独立于坐标系，具有不变性。

旋量叉积: 两旋量$S_1,S_2$的叉积由旋量主部的叉积及其相应主、副部交叉的叉积得到的向量构成，表示为：
$$S_1\times S_2=\left(\begin{array}{c}{s}_1\times s_2\\ s_1\times s_{20}+s_{10}\times s_2\end{array}\right)$$
Theory: 旋量叉积为零是两旋量共轴的充要条件。

旋量微分 直接上定义式，对时间$t$求导即可。
$$\frac{dS}{dt}=\left(\begin{array}{c}\frac{ds}{dt}\\ \frac{d{s}_0}{dt}+\frac{d{s}_0}{dt}\times s\end{array}\right)$$

Killing型是李代数的内积，为不变量。
$$K(S_1,S_2)=tr(ad(S_1)ad(S_2))$$
其中，$tr()$为矩阵的迹，为矩阵的主对角线元素之和，$ad()$为李代数元素的伴随表示。
Killing型和Klein型是李代数se(3)仅有的两种具有不变性的对称双线性型。