＜蓝桥杯软件赛＞零基础备赛20周--第16周--GCD和LCM
报名明年4月蓝桥杯软件赛的同学们，如果你是大一零基础，目前懵懂中，不知该怎么办，可以看看本博客系列：备赛20周合集
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文章目录
- 1. GCD
-
- 1.1 GCD概念
- 1.2 GCD性质
- 1.2 GCD编码实现
- 2. LCM
- 3. 例题
-
- 3.1 等差数列
- 3.2 Hankson的趣味题
- 3.3 最大比例
第16周: GCD和LCM
最大公约数（GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple，LCM）研究整除的性质，非常古老，2000多年前就得到了很好的研究。由于简单易懂，有较广泛的应用，是竞赛中频繁出现的考点。
最大公约数有多种英文表述：Greatest Common Divisor(GCD)、Greatest Common Denominator、Greatest Common Factor(GCF)、Highest Common Factor (HCF)。
1. GCD
1.1 GCD概念
整数a和b的最大公约数是能同时整除a和b的最大整数，记为gcd(a, b)。
负整数也可以算gcd，不过由于-a的因子和a的因子相同，编码时只需要关注正整数的最大公约数。下面用c++函数std::__gcd(a, b)演示gcd的计算结果。
#include Java没有自带GCD库函数。
Python自带的GCD函数，只返回正整数。
from math import *
print(gcd(45, 9)) # 9
print(gcd(0, 42)) # 42
print(gcd(42, 0)) # 42
print(gcd(0, 0)) # 0
print(gcd(20, 15)) # 5
print(gcd(-20, 15)) # 5
print(gcd(20, -15)) # 5
print(gcd(-20, -15)) # 5
print(gcd(98938441343232, 33422)) # 2
1.2 GCD性质
GCD有关的题目一般会考核GCD的性质。
（1）gcd(a, b) = gcd(a, a+b) = gcd(a, k·a+b)
（2）gcd(ka, kb) = k·gcd(a, b)
（3）多个整数的最大公约数：gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c)。
（4）若gcd(a, b) = d，则gcd(a/d, b/d) = 1，即a/d与b/d互素。这个定理很重要。
（5）gcd(a+cb, b) = gcd(a, b)
1.2 GCD编码实现
编程时可以不用自己写GCD代码，而是直接使用c++函数std::__gcd(a, b)。如果自己编码也很简单，用欧几里得算法，又称为辗转相除法，即gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)。
int gcd(int a, int b){ // 一般要求a>=0, b>0。若a=b=0，代码也正确，返回0
return b? gcd(b, a%b):a;
}
Java的gcd需要自己写。
import java.math.BigInteger;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
System.out.println(gcd(45, 9)); // 9
System.out.println(gcd(0, 42)); // 42
System.out.println(gcd(42, 0)); // 42
System.out.println(gcd(0, 0)); // 0
System.out.println(gcd(20, 15)); // 5
System.out.println(gcd(-20, 15)); // -5
System.out.println(gcd(20, -15)); // 5
System.out.println(gcd(-20, -15)); // -5
System.out.println(gcd(new BigInteger("98938441343232"), new BigInteger("33422"))); // 2
}
public static long gcd(long a, long b) {
if (b == 0) return a;
return gcd(b, a % b);
}
public static BigInteger gcd(BigInteger a, BigInteger b) {
return a.gcd(b);
}
}
python。自己写gcd()函数，可能返回负数。
def gcd(a,b):
if b ==0:return a
else: return gcd(b,a%b)
print(gcd(45, 9)) # 9
print(gcd(0, 42)) # 42
print(gcd(42, 0)) # 42
print(gcd(0, 0)) # 0
print(gcd(20, 15)) # 5
print(gcd(-20, 15)) # 5
print(gcd(20, -15)) # -5
print(gcd(-20, -15)) # -5
print(gcd(98938441343232, 33422)) # 2
2. LCM
最小公倍数LCM（the Least Common Multiple）。a和b的最小公倍数lcm(a, b)，从算术基本定理推理得到。
算术基本定理：任何大于1的正整数n都可以唯一分解为有限个素数的乘积： n = p 1 c 1 p 2 c 2 . . . p m c m n = p_1^{c1}p_2^{c2}...p_m^{cm} n=p1c1p2c2...pmcm，其中ci都是正整数， p i p_i pi都是素数且从小到大。
设： a = p 1 c 1 p 2 c 2 . . . p m c m ， b = p 1 f 1 p 2 f 2 . . . p m f m a = p_1^{c1}p_2^{c2}...p_m^{cm}，b = p_1^{f1}p_2^{f2}...p_m^{fm} a=p1c1p2c2...pmcm，b=p1f1p2f2...pmfm
那么：
g c d ( a , b ) = p 1 m i n { c 1 , f 1 } p 2 m i n { c 2 , f 2 } . . . p m m i n { c m , f m } gcd(a, b) = p_1^{min\{c1,f1\}}p_2^{min\{c2,f2\}}...p_m^{min\{cm,fm\}} gcd(a,b)=p1min{c1,f1}p2min{c2,f2}...pmmin{cm,fm}，
l c m ( a , b ) = p 1 m a x { c 1 , f 1 } p 2 m a x { c 2 , f 2 } . . . p m m a x { c m , f m } lcm(a, b) = p_1^{max\{c1,f1\}}p_2^{max\{c2,f2\}}...p_m^{max\{cm,fm\}} lcm(a,b)=p1max{c1,f1}p2max{c2,f2}...pmmax{cm,fm}
可以推出：
g c d ( a , b ) ∗ l c m ( a , b ) = a ∗ b gcd(a, b)*lcm(a, b) = a*b gcd(a,b)∗lcm(a,b)=a∗b
即
l c m ( a , b ) = a ∗ b / g c d ( a , b ) = a / g c d ( a , b ) ∗ b lcm(a, b) = a*b/gcd(a, b) = a/gcd(a, b)*b lcm(a,b)=a∗b/gcd(a,b)=a/gcd(a,b)∗b
c++代码
int lcm(int a, int b){ //需要的时候把int改成long long
return a / gcd(a, b) * b; //先做除法再做乘法，防止先做乘法溢出
}
java代码
public static int gcd(int a, int b) {
if (b == 0) return a;
return gcd(b, a % b);
}
public static long lcm(int a, int b) {
return (long) a / gcd(a, b) * b;
}
python代码
在Python新版本中有库函数lcm()，它可以带多个参数。
from math import *
print(lcm(3,6,8,9)) #输出72
也可以自己写一个：
from math import *
def lcm(x,y): return x//gcd(x,y)*y
3. 例题
GCD和LCM的题目太多了，随便到哪个OJ都能以GCD为算法关键词搜出很多。
3.1 等差数列
等差数列
【题目描述】数学老师给小明出了一道等差数列求和的题目。但是粗心的小明忘记了一部分的数列，只记得其中N个整数。现在给出这N个整数，小明想知道包含这N个整数的最短的等差数列有几项?
【输入描述】输入的第一行包含一个整数N。 第二行包含N个整数A1,A2,···,AN。(注意A1 ∼AN并不一定是按等差数列中的顺序给出) (对于所有评测用例，2≤N≤100000，0≤Ai≤ 1 0 9 10^9 109。)
【输出描述】输出一个整数表示答案
所有数字间距离最小的间隔是公差吗？ 并不是，例如{2，5，7}，最小的间隔是2，但公差不是2，是1。
这是gcd问题。把n个数据排序，计算它们的间隔，对所有间隔做GCD，结果为公差。最少数量等于：（最大值-最小值）/公差+1。
c++代码
#includeJava代码
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
int[] a = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = sc.nextInt();
Arrays.sort(a);
int d = 0;
for (int i = 1; i < n; i++) d = gcd(d, a[i] - a[i - 1]);
if (d == 0) System.out.println(n);
else System.out.println((a[n - 1] - a[0]) / d + 1);
}
public static int gcd(int a, int b) {
if (b == 0) return a;
return gcd(b, a % b);
}
}
python代码
from math import *
n=int(input())
a=list(map(int,input().split()))
a.sort()
d=0
for i in range(1,n): d=gcd(d,a[i]-a[i-1])
if d==0: print(n)
else: print((a[-1]-a[0])//d+1)
3.2 Hankson的趣味题
Hankson的趣味题
【题目描述】刚刚放学回家的Hankson正在思考一个有趣的问题。今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1和c2的最大公约数和最小公倍数。现在Hankson认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0,a1,b0,b1，设某未知正整数x满足:
- x和a0 的最大公约数是a1；
- x和b0的最小公倍数是b1。
Hankson的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的x并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x的个数。请你帮助他编程求解这个问题。
【输入格式】输入第一行为一个正整数n，表示有n组输入数据。 接下来的n行每行一组输入数据，为四个正整数a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证a0能被a1整除，b1能被b0整除。
数据规模：对于100%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000且n≤2000。
【输出格式】输出共n行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。对于每组数据：若不存在这样的x，请输出0；若存在这样的x，请输出满足条件的x的个数。
最简单的暴力法，是把所有可能的x试一遍。x的范围是x ≤ b1。
但是，由于本题的数据范围是 b 1 ≤ 2 × 1 0 9 b1 ≤ 2×10^9 b1≤2×109，肯定超时。
若x是b1的因子，那么x*y = b1，y也可能是答案。所以只需要在范围x<=sqrt(b1)内查询，同时判断y就行了。
但是这样还是超时，因为gcd计算也要花时间，最后加上一个优化：if(b1%x==0)，表示b1是x的公倍数。
c++代码
#includejava
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
while (n-- > 0) {
int a0 = sc.nextInt();
int a1 = sc.nextInt();
int b0 = sc.nextInt();
int b1 = sc.nextInt();
int ans = 0;
for (int x = 1; x <= Math.sqrt(b1); x++) {
if (b1 % x == 0) {
if (gcd(x, a0) == a1 && lcm(x, b0) == b1) ans++;
int y = b1 / x;
if (x == y) continue;
if (gcd(y, a0) == a1 && lcm(y, b0) == b1) ans++;
}
}
System.out.println(ans);
}
}
public static int gcd(int a, int b) {
if (b == 0) return a;
return gcd(b, a % b);
}
public static int lcm(int a, int b) {
return a / gcd(a, b) * b;
}
}
python
from math import *
def lcm(x,y): return x//gcd(x,y)*y
n=int(input())
for _ in range(n):
a0,a1,b0,b1 = map(int,input().split())
ans=0
for x in range(1,int(sqrt(b1))+1):
if b1 % x == 0:
if gcd(x,a0)==a1 and lcm(x,b0)==b1: ans+=1
y = b1//x
if x==y: continue
if gcd(y,a0)==a1 and lcm(y,b0)==b1: ans+=1
print(ans)
3.3 最大比例
最大比例
【题目描述】X星球的某个大奖赛设了M级奖励。每个级别的奖金是一个正整数。并且，相邻的两个级别间的比例是个固定值。也就是说：所有级别的奖金数构成了一个等比数列。比如：16,24,36,54
其等比值为：3/2
现在，我们随机调查了一些获奖者的奖金数。请你据此推算可能的最大的等比值。
【输入格式】第一行为数字 N (0
测试数据保证了输入格式正确，并且最大比例是存在的。
先试试暴力法。
把这些数字排个序，然后算出相邻两个数的比值。最小的那个比值K是否就是答案呢？
不是。例如{2, 16, 64}，比值是16/2=8，64/16=4，最小比值K=4。但是原序列是{2, 4, 8, 16, 32, 64}，比值是2。
所以答案肯定比K小，如何求出答案？如果一个个试比K小的分数，肯定会超时。
再用另一个思路，这次不是算相邻两个数的比值，而是每个数对第一个数的比值，会不会好些？
设原序列是 x , x q 1 , x q 2 , . . . , x q n − 1 {x, xq^1, xq^2, ..., xq^{n-1}} x,xq1,xq2,...,xqn−1，从中挑出一些数字 x q c , x q d , . . . , x q y , x q z {xq^c, xq^d, ..., xq^y, xq^z} xqc,xqd,...,xqy,xqz，它们之间的两两相除，得到一个比值序列 1 , q d − c , . . . , q z − y {1, q^{d-c}, ... , q^{z-y}} 1,qd−c,...,qz−y，这其中的一些数字可能是相同的，有点麻烦。
或者算它们对第一个数的比值，得 1 , q d − c , . . . , q y − c , q z − c = 1 , q k d , . . . , q k y , q k z {1, q^{d-c}, ... , q^{y-c} , q^{z-c}} ={1, q^{kd}, ... , q^{ky} , q^{kz}} 1,qd−c,...,qy−c,qz−c=1,qkd,...,qky,qkz ，这个序列内的所有数字肯定不同。令 q = a / b q = a/b q=a/b，那么这个序列变成了 1 , ( a / b ) k d , . . . , ( a / b ) k y , ( a / b ) k z {1, (a/b)^{kd}, ..., (a/b)^{ky}, (a/b)^{kz}} 1,(a/b)kd,...,(a/b)ky,(a/b)kz。分成分子和分母两个序列，分别是 A = a k d , . . . , a k y , a k z , B = b k d , . . . , b k y , b k z A={a^{kd}, ..., a^{ky}, a^{kz}}, B={b^{kd}, ..., b^{ky}, b^{kz}} A=akd,...,aky,akz,B=bkd,...,bky,bkz。
已知这两个序列A、B中每个元素的值，求a和b。
例如A={16, 128, 512, 1024}，得a=2，即 A = 2 4 , 2 7 , 2 9 , 2 10 A={2^4, 2^7, 2^9, 2^{10}} A=24,27,29,210。如何根据A求a？
显然，A中每个数除以前面一个数，都能够整除，得到a的一个倍数，但是这个倍数还不是a，需要继续除，直到得到a为止。以前2个数 2 4 , 2 7 {2^4, 2^7} 24,27为例，计算步骤是： 2 7 / 2 4 = 2 3 ， 2 4 / 2 3 = 2 1 ， 2 3 / 2 1 = 2 2 ， 2 2 / 2 1 = 2 ， 2 1 / 2 1 = 1 2^7/2^4=2^3，2^4/2^3=2^1，2^3/2^1=2^2，2^2/2^1=2，2^1/2^1=1 27/24=23，24/23=21，23/21=22，22/21=2，21/21=1，结束，得a=2。这是一个辗转相除的过程。
对A中所有元素都执行这个过程，就得到了a。下面代码中的gcd_sub()完成了这一任务。
c++代码
#includejava
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
long[] x = new long[n];
for (int i = 0; i < n; i++) x[i] = sc.nextLong();
Arrays.sort(x);
long[] a = new long[n - 1];
long[] b = new long[n - 1];
int cnt = 0;
for (int i = 1; i < n; i++) {
long d = gcd(x[i], x[0]);
a[cnt] = x[i] / d;
b[cnt] = x[0] / d;
cnt++;
}
long up = a[0];
long down = b[0];
for (int i = 1; i < cnt; i++) {
up = gcdSub(up, a[i]);
down = gcdSub(down, b[i]);
}
System.out.println(up + "/" + down);
}
public static long gcd(long a, long b) {
if (b == 0) return a;
return gcd(b, a % b);
}
public static long gcdSub(long a, long b) {
if (a < b) {long temp = a; a = b; b = temp; }
if(b==1) return a;
return gcdSub(b,a/b);
}
}
python
from math import *
def gcd_sub(a,b):
if a<b: a,b = b,a
if b==1: return a
return gcd_sub(b,a//b);
n = int(input())
x = list(set(map(int,input().split()))) #set有去重的作用
x.sort()
n = len(x)
a=[]
b=[]
for i in range(1,n):
d = gcd(x[i],x[0])
a.append(x[i]//d)
b.append(x[0]//d)
n = len(a)
up = a[0]
down = b[0]
for i in range(1,n):
up = gcd_sub(up,a[i])
down = gcd_sub(down,b[i])
print('%d/%d'%(up,down))
其他练习，请到这里：洛谷的GCD题目