高中奥数 2022-01-15

2022-01-15-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题一 P051 习题01）

证明:对任意非空有限集,都可以将它的所有子集排成一列,使得任意两个相邻的子集的元素个数相差1.

证明

对该非空有限集的元素个数归纳.记该集合为,当时,其子集可排列为,,符合要求.

设命题对成立,即的子集可排列为,使相邻两个集合元素个数相差1.

考虑,对其元子集,依归纳假设对的子集有符合要求的排列;于是,下面的排列:

是所有子集的排列,它们符合要求.

说明这里构造的集合列中相邻两个子集的不同元素都恰好只有一个,比要求的结论更强.

2022-01-15-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题一 P051 习题02）

数列满足,.

证明:对任意及,只要,就有.

证明

当时,命题显然成立.

对的情形,要证的结论等价于,它是下述命题的推论:对,都有

对归纳来证明(1)成立:在时,由,知(1)成立;现设(1)对成立,则由条件知

$\begin{aligned} \left(k+2\right)a_{k+1}&=2\left(k+1\right)a_{k+1}-ka_{k+1}\\ &\leqslant 2\left(k+1\right)a_{k+1}-\left(k+1\right)a_{k}\\ &=\left(k+1\right)\left(2a_{k+1}-a_{k}\right)\\ &\leqslant \left(k+1\right)a_{k+2}. \end{aligned}$

所以,(1)对也成立.命题获证.

2022-01-15-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题一 P052 习题03）

一个由正实数组成的数列满足,.

证明:对任意,都有.

证明

当时,,故,同时.所以,命题对成立.

现设命题对成立,则,注意到,由归纳假设知,所以,因此.

即命题对成立,获证.

2022-01-15-04
（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚习题一 P052 习题04）

设实数满足.证明:

证明

当时,命题显然成立;设命题对成立,考虑的情形.由归纳假设知

$\begin{aligned} &a_{1}a_{2}^{4}+a_{2}a_{3}^{4}+\cdots+a_{n}a_{n+1}^{4}+a_{n+1}a_{1}^{4}\\ \geqslant &a_{2}a_{1}^{4}+a_{3}a_2^{4}+\cdots+a_{n}a_{n-1}^{4}+a_{1}a_{n}^{4}-a_{n}a_{1}^{4}+a_{n}a_{n+1}^{4}+a_{n+1}a_{1}^{4}. \end{aligned}$

为证命题对成立,只需证明:

为方便起见,记,,,则,(1)转为证明:

注意到,

$\begin{aligned} \text{(2)式左边}&=xy\left(y^{3}-x^{3}\right)+yz\left(z^{3}-y^{3}\right)-zx\left(z^{3}-x^{3}\right)\\ &=\left(xy-zx\right)\left(y^{3}-x^{3}\right)+\left(yz-zx\right)\left(z^{3}-y^{3}\right)\\ &=-x\left(z-y\right)\left(y-x\right)\left(y^{2}+xy+x^{2}\right)+z\left(y-x\right)\left(z-y\right)\left(z^{2}+zy+y^{2}\right)\\ &=\left(y-x\right)\left(z-y\right)\left(z^{3}+z^{2}y+zy^{2}-xy^{2}-x^{2}y-x^{3}\right)\\ &=\left(y-x\right)\left(z-y\right)\left(z-x\right)\left(z^{2}+zx+x^{2}+zy+xy+y^{2}\right)\\ &=\dfrac{1}{2}\left(y-x\right)\left(z-y\right)\left(z-x\right)\left(\left(x+y\right)^{2}+\left(y+z\right)^{2}+\left(z+x\right)^{2}\right)\\ &\geqslant 0. \end{aligned}$

所以,(2)成立,进而,(1)成立,命题对成立,获证.

高中奥数 2022-01-15

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