常系数线性方程-非齐次问题

在已经获得齐次问题的通解的情况下，求解非齐次问题的实质就是寻找一个特解. 之前的知识知道，这样的特解可以通过常数变易公式获得，但是对具体的问题来说这样的计算可能是相当复杂的,针对几类特殊而常见的函数类型，我们有更加简便的方法，即算子解法.

考虑非齐次线性方程

按照算子写法，可以表述为

如果把的逆算子形式地记为，那么我们需要求

这里我们先理解一下逆算子注意到一个简单的情形是 ,，它对一个可积函数的作用结果是不定积分这是一个不唯一的结果，他们之间相差一个常数. 然而我们现在只需要求任何一个特解，因此我们每次计算都选择方便简单的一个答案. 在这种方法中的大部分等号都是在这种情况下成立的。

算子具有下列基本性质：

性质1 ，即累次积分.

性质2 的作用是线性的，即

性质3 如果，则

这些性质不难用的性质来验证. 进一步，我们给出以下重要的计算公式. 为了方便记忆，我们形象地给每一个公式起了一个名字

定理 4.3

（1）解析展开法 或 解析相除法：

对次多项式，如果在处解析且可以展开成

其中是次多项式，而为次以上的所高次项，则

（2）代换法：

如果，那么 .

（3）二项式法：

证明

对（1），只要注意到更简单地看，将按升幂排列后作除法，设在第步时得到商和余式，它们必然是次多项式和形如

的多项式. 按照除法关系我们有 . 从而

这样也得到同样形式的结果.

对（2），从上节的重要公式（4.5），即，可直接得知.

对（3），，名字来源之前证明定理 4.2 中使用的二项式定理. 事实上，

$\begin{aligned} D^m(e^{\lambda t}v(t))=&\sum_{k=0}^{m}\text{C}_m^kD^ke^{\lambda t}\cdot D^{m-k}v(t)\\ =&\sum_{k=0}^{m}\text{C}_m^k\lambda^ke^{\lambda t}\cdot D^{m-k}v(t)\\ =&e^{\lambda t}(D+\lambda)^mv(t), \end{aligned}$

从而，

利用该结果，我们得到

求逆便得到结果.

注 4.1

解析展开法一个最直接和最常用的实例是

注 4.2

从代换法可以获得下列结果：

其中 . 事实上，对上诉三角函数我们考虑辅助函数 . 用代换法得到

分别取其实部和虚部就获得我们需要的结果.

注 4.3

在的情形下物品们不能使用代换法，但可以使用二项式法. 事实上，

对于非齐次线性方程（4.1），当其非齐次项为某几类特殊函数时，出了可用算子解法外. 还有比较系数法和 Laplace 变换法等简便的方法.

例 4.2

其中

Sol:

由于对函数不满足代换法的条件，因此先用代换法计算，再对所得结果用二项式法，得

$\begin{aligned} x(t) =&\dfrac{1}{(D-\lambda)^rQ(D)}e^{\lambda t}\\ =&\dfrac{1}{Q(\lambda)}\dfrac{1}{(D-\lambda)^r}e^{\lambda t}\\ =&\dfrac{e^{\lambda t}}{Q(\lambda)}\cdot\dfrac{1}{((D+\lambda)-\lambda)^r}\cdot1\\ =&\dfrac{e^{\lambda t}}{Q(\lambda)}\int\cdots\int1(\text{d}t)^r\\ =&\dfrac{e^{\lambda t}}{Q(\lambda)}\dfrac{t^r}{r!}. \end{aligned}$

例 4.3

Sol:

既然出现三角函数，首先用辅助函数化成指数函数问题. 考虑辅助方程

显然使得，而且还有多项式因子，故不能用代换法解决，而要用二项式法和解析展开法. 因此

$\begin{aligned} z(t) =&\dfrac{1}{D^3-2D^2+D-2}t^3e^{it}\\ =&e^{it}\dfrac{1}{(D+i)^3-2(D+i)^2+(D+i)-2}t^3\\ =&e^{it}\dfrac{1}{D^3-(2-3i)D^2-(2+4i)D}t^3\\ =&-\dfrac{e^{it}}{2+4i}\dfrac{1}{D}\dfrac{1}{1-\dfrac{4+7i}{10}D-\dfrac{1-2i}{10}D^2}t^3\\ =&-\dfrac{e^{it}}{2+4i}\dfrac{1}{D}\bigg[1+\dfrac{4+7i}{10}D+\dfrac{1-2i}{10}D^2\\ &+\left(\dfrac{4+7i}{10}D+\dfrac{1-2i}{10}D^2\right)^2+\left(\dfrac{4+7i}{10}D\right)^3\bigg]t^3\\ =&-\dfrac{e^{it}}{2+4i}\dfrac{1}{D}\left[1+\dfrac{4+7i}{10}D+\dfrac{-23+36i}{100}D^2-\dfrac{164+27i}{1000}D^3\right]t^3\\ =&-\dfrac{e^{it}}{2+4i}\left[\dfrac{1}{D}+\dfrac{4+7i}{10}+\dfrac{-23+36i}{100}D-\dfrac{164+27i}{1000}D^2\right]t^3\\ =&-\dfrac{e^{it}}{10}(1-2i)\left[\dfrac{t^4}{4}+\dfrac{4+7i}{10}t^3+\dfrac{-69+108i}{100}t^2-\dfrac{984+162i}{1000}t\right]\\ =&-\dfrac{1}{10}(\cos t+i\sin t)\bigg[\left(\dfrac{t^4}{4}+\dfrac{18}{10}t^3+\dfrac{147}{100}t^2-\dfrac{1308}{1000}t\right)\\ &-i\left(\dfrac{t^4}{2}+\dfrac{t^3}{10}-\dfrac{246}{100}t^2-\dfrac{1806}{1000}t\right)\bigg] \end{aligned}$

取虚部得到

$\begin{aligned} x(t) =&-\dfrac{1}{10}\bigg[\left(\dfrac{t^4}{4}+\dfrac{9}{5}t^3+\dfrac{147}{100}t^2-\dfrac{327}{250}t\right)\sin t\\ &-\left(\dfrac{t^4}{2}+\dfrac{t^3}{10}-\dfrac{123}{50}t^2-\dfrac{903}{500}t\right)\cos t\bigg]. \end{aligned}$

说实话蛮绝的，计算量有点大，但是还是蛮好理解的.

例 4.4

Sol:

基本思想是配项并利用二次项法使变成的直接积分.

$\begin{aligned} x(t) =&\dfrac{1}{D+1}e^{e^t}\\ =&\dfrac{1}{D+1}e^{-t}\cdot e^{e^t}e^t\\ =&e^{-t}\dfrac{1}{(D-1)+1}e^{e^t}e^t\\ =&e^{-t}\int e^{e^t}e^t\text{d}t\\ =&e^{-t}e^{e^t}. \end{aligned}$

微分方程-常系数线性方程-非齐次问题

常系数线性方程-非齐次问题

定理 4.3

证明

注 4.1

注 4.2

注 4.3

例 4.2

例 4.3

例 4.4

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