泊松比、泊松比范围、广义胡克定律、体积应变方程

泊松比（Poisson’s ratio）提供了有关不同材料在负载下如何变形的关键信息，将施加载荷的方向称为纵向（longitudinal direction），将垂直方向称为横向（lateral directions）

当在一个方向对材料施加载荷时，材料也会在横向上变形。 泊松比是告诉我们材料在横向会变形多少的参数。

当施加纵向载荷时，结果表明横向产生的应变是相等的，它们与纵向应变成正比，横向应变与纵向应变之比实际上是一个材料常数。

此材料常数即为泊松比（法国著名数学家Simeon Denis Poisson提出）

为什么在等式中加入一个减号？
因为按照国际惯例，拉伸应变为正，压缩应变为负

对于横向应变与纵向应变符号相反的典型情况，我们得到正泊松比
上述方程及概念仅适用于各向同性材料（isotropic），这些材料在所有方向上都具有相同的属性，同时假设材料在弹性区变形，当涉及塑性变形时，事情会变得得更加复杂

泊松比是一个无量纲的材料属性，它告诉我们，当我们在纵向上拉动材料时，它会在横向上收缩多少。
泊松比的理论值范围为-1.0-0.5，在实践中，大多数真实材料的泊松比介于0-0.5之间，大多数金属的泊松比约为0.3

以下是一些选定材料的典型值：

下面看看泊松比的不同值如何影响材料在荷载下的变形，

泊松比为0时，施加纵向拉力，横向没有变形，以这种方式表现的一种材料是软木（cork），这种特性使其成为某些应用中非常有用的材料。例如葡萄酒的软木塞，在压缩时不会横向膨胀，

此外还有负泊松比的材料，

这些称为拉胀材料，它们在拉动时横向膨胀，压缩时横向收缩。这些大多是工程材料，如特殊泡沫，而不是自然界中自然产生的材料。
下图显示了如何获得负泊松比，

可见材料被压缩，其纵向和横向尺寸都减少了。
泊松比是连续介质力学中一个非常重要的参数，用于确定物体如何响应施加的应力，下面是一个单轴拉伸案列，

纵向X方向的应变（${\sigma }_x$ ）由胡克定律给出，即${\sigma }_x$ /E，横向应变是纵向应变乘以泊松比得到的。

但三轴应力（tri-axial stress），在三个方向都有应力，这种情况下，不能只用胡克定律（Hooke’s law）来确定横向应变，因为还会受到Y和Z方向应变的影响。

一个方向上的应变将取决于施加在所有三个方向上的应力，我们可以使用胡克定律，结合泊松比方程和叠加原理得到，应变方程，如X方向：

将这个方程重新排列成更实用的形式，如下：

同样获得Y和Z方向的应变方程：

这些方程构成了广义的胡克定律（Generalised Hook’s law）,可用于确定三轴应力情况下的变形。
体积应变是负载下物体体积变化的量度，可以将三个方向的应变相加来计算体积应变。使用广义胡克定律的方程来扩展体积应变方程：

下面讨论泊松比理论范围内的最大值，即 $\mu$=0.5情况下的材料，将 $\mu$=0.5带入体积应变方程，可以得到$e_v$ =0，这意味着泊松比为0.5的材料，材料的体积在变形时保持不变，这些被称为不可压缩材料（incompressible materials）。

橡胶就是不可压缩材料的一个例子。
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