工程力学(13)—扭转二：等值圆轴横截面上的应力

重要公式

一：变形的几何关系

圆轴扭转的平面假设：
圆轴扭转变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状大小不变，半径仍保持为直线，切相邻两直线间距离不变。

φ为扭转角，其所对的弧长等于Rφ。
由于视为很小的微量，这段弧近似看成直线，tanγ近似等于γ
所以φ所对的圆弧Rφ=γL

然后在这个轴上取一段dx，接着再取一块楔形的块底。
放大后

外表面ABCD在扭转后发生了变形也即相对转动，变成了AB’CD’，
图中区别于周遭颜色的黄色区域为两个平面的相对转角dφ
图中的红色区域为切应变。

通过之前的推导可得：

接着尝试求通式，将里面的半径为ρ的部分取出。

不难推导：

所以可得（记住）：扭转变形的切应变是和点到轴线距离成正比。

二：物理方面

由剪切胡克定律：

代入上式所求：

对于指定截面来讲dφ/dx 是常量，G也是常量，所以该点切应力只和到轴线的距离有关。在轴心的位置上切应力为0，在圆周上切应力最大。

切应力是线性分布的，切应力的方向一定沿着切线的方向。（如果不是在切线方向上，那他就可以分解到一个法线方向上，那么圆截面受扭后就不是原来的圆了）

三：静力方面

取一小圆，它的扭矩等于ρτ_ρdA，τ_ρdA是该位置的应力之和，
对整个截面积分再替换τ_ρ就可以得到上图的式子。

设一值I_p：横截面对行心的极惯性矩。

适用于圆杆以及不超过切应力极限的情况。

四：极惯性矩I_p以及抗扭截面系数W_t的计算

实心轴：

空心轴：

综：

例题：

例题：

分别计算：