近世代数理论基础37：共轭元和共轭子域

共轭元和共轭子域

共轭元

定义：设为伽罗瓦扩张,,,元称为在F上的共轭元

例：

1.由恒等映射及由所决定的同构组成

有两个共轭元及

2.令,,以表示G中使固定不变的子群,即,有

,若,则

即,故属于在G中的同一陪集

反之,当属于的同一陪集,

故在F上的共轭元个数等于在G中的陪集个数,即

设为在F上所有互异的共轭元,其中

令,,将的共轭元映射为的共轭元

故作用在集合上是一个置换,的系数为的初等对称多项式

故将作用在的系数上得到

的系数属于G的固定子域F,即是F上的多项式,且为不可约多项式

否则,若,其中为F上的不可约多项式,为F上次数的多项式

设是的根,是的根,共轭,故,使

,故

即同时也是的根,则,故

但无重根,矛盾

故为在F上的极小多项式

计算E中元在F上的极小多项式：

3.计算在上的极小多项式,由8个相对的自同构组成

故

在上的极小多项式为

高斯公式

设p为素数,g为模p的原根,记,

设,分圆域的(f项)周期为

已知是由同构生成的p-1阶循环群,且

故

,互为共轭元,它们在上的极小多项式为

定义

其中表示i跑遍,即为出现了的那个

故

在最后一个等式中将改成,简称高斯公式

可用于计算

例：取p=17,g=3,e=2,

(8项)周期

它们互为共轭元

显然,

故在上的极小多项式为

共轭子域

定义：设为伽罗瓦扩张,,,称为K在F上的共轭子域

设为伽罗瓦扩张,,令表示中使固定不变的同构所成的子群,则

,若使,则

故,即,反之亦然

故中使固定不变的子群为,是子域所对应的G中的子群,即

为F的正规扩张,当且仅当在F上的任一共轭元都在中,即,有

故,即是G的正规子群

定理：设为伽罗瓦扩张,,则为伽罗瓦扩张,当且仅当是的正规子群,此时与商群同构

证明：

设是伽罗瓦扩张,当为交换群时,称为交换扩张,此时的任一子群都是正规子群,故的任一中间域都是F的伽罗瓦扩张,显然和都是交换扩张

定理：设为伽罗瓦扩张,当且仅当为上的一个可分多项式的分裂域

证明：

推论：若在F上可分,则是F的可分扩张,即中任一元都在F上可分

证明：