高中奥数 2021-10-29

2021-10-29-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P091 例1）

证明Ptolemy不等式:对平面上任意不共线的四点、、、,有.等号成立当且仅当是圆内接凸四边形.

证明

如图,以为反演中心,单位长度为反演半径,设、、的反点分别为、、,则

图1

,

,

于是由得

,

即.

等号成立条件是、、共线且在线段上,即是圆内接凸四边形.

2021-10-29-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P091 例2）

是圆O的直径,是上一点,过点作的垂线交圆于点,过点作圆的切线交的延长线于点,为圆上任意一点,证明:.

证明

如图,连结、、,点的极线过,于是的极线过,又的极线应与垂直,则在的极线上,由性质3知,、、、成调和点列,即、、、成调和线束,再由知.

图2

2021-10-29-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P091 例3）

如图,是以为直径的圆上的一点,、,在上的投影为.以为圆心、为半径的圆与以为直径的圆交于点、.证明:平分线段.(2006土耳其国家队选拔考试)

图3

证明

作以为反演中心、为反演圆的反演变换.

则反演为直线,反演为以为直径且与内切的圆(如图).

图4

因为是的直径,所以与正交由反演的保角性知,与以为直径的圆正交,故平分线段.