有限元分析简单实例之四杆结构（matlab）

问题描述

一个四杆结构，施加如图所示的两个带有方向的力，对其进行有限元分析。

要用到的函数

（1）计算单元的刚度矩阵

function k = Bar2D2Node_Stiffness(E,A,x1,y1,x2,y2,alpha)
% 	计算单元的刚度矩阵
%   输入弹性模量E，横截面积A，第一个结点的坐标（x1,y1）第二个节点的坐标（x2,y2）,角度alpha
%  	输出单元刚度矩阵k(4*4)
L= sqrt((x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1));
x = alpha*pi/180;
C=cos(x);
S=sin(x);
k = E*A/L*[C*C C*S -C*C -C*S;C*S S*S -C*S -S*S;-C*C -C*S C*C C*S;-C*S -S*S C*S S*S];


end

(2)进行单元刚度矩阵的组装

function z = Bar2D2Node_Assembly(KK,k,i,j)
%   该函数进行单元刚度矩阵的组装
%   输入单元刚度矩阵k，单元节点编号i,j
%   输出整体刚度矩阵KK
DOF(1)=2*i-1;
DOF(2)=2*i;
DOF(3)=2*j-1;
DOF(4)=2*j;
for n1=1:4
    for n2=1:4
        KK(DOF(n1),DOF(n2))=KK(DOF(n1),DOF(n2))+k(n1,n2);
    end
end
z = KK;
end

（3）计算单元的应力

function stress = Bar2D2Node_Stress(E,x1,y1,x2,y2,alpha,u)
%   该函数计算单元的应力
%   输入弹性模量E，第一个结点的坐标（x1,y1）,第二个节点的坐标（x2,y2）
%   输入角度（alpha），单位结点位移矢量u
%   返回单元应力标量stress
L= sqrt((x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1));
x = alpha*pi/180;
C=cos(x);
S=sin(x);
stress = E/L*[-C -S C S]*u;
end

解答步骤

(1)结构的离散化和编号
对结点和杆单元进行编号，如上图所示。

>> E = 2.95e11;
>> A = 0.0001;
>> x1=0;
>> y1=0;
>> x2=0.4;
>> y2=0;
>> x3=0.4;
>> y3=0.3;
>> x4=0;
>> y4=0.3;
>> alpha1=0;
>> alpha2=90;
>> alpha3=atan(0.75)*180/pi;

（2）计算各单元的刚度矩阵
对比弹簧单元和杆单元可以得到
k是弹簧的弹性系数，E是杆单元的弹性模量，A是横截面积，l是长度

利用Bar2D2Node_Stiffness函数分别对杆单元1，2，3，4计算其刚度矩阵。

>> k1 =  Bar2D2Node_Stiffness(E,A,x1,y1,x2,y2,alpha1)

k1 =

    73750000           0   -73750000           0
           0           0           0           0
   -73750000           0    73750000           0
           0           0           0           0

>> k2 =  Bar2D2Node_Stiffness(E,A,x2,y2,x3,y3,alpha2)

k2 =

   1.0e+07 *

    0.0000    0.0000   -0.0000   -0.0000
    0.0000    9.8333   -0.0000   -9.8333
   -0.0000   -0.0000    0.0000    0.0000
   -0.0000   -9.8333    0.0000    9.8333

>> k3 =  Bar2D2Node_Stiffness(E,A,x1,y1,x3,y3,alpha3)

k3 =

   1.0e+07 *

    3.7760    2.8320   -3.7760   -2.8320
    2.8320    2.1240   -2.8320   -2.1240
   -3.7760   -2.8320    3.7760    2.8320
   -2.8320   -2.1240    2.8320    2.1240

>> k4 =  Bar2D2Node_Stiffness(E,A,x4,y4,x3,y3,alpha1)

k4 =

    73750000           0   -73750000           0
           0           0           0           0
   -73750000           0    73750000           0
           0           0           0           0

（3）建立整体的刚度方程
由于该结构有四个节点，每个节点各有x，y两个方向的自由度，因此，设整体的刚度矩阵为KK（8×8），先对KK清零，后调用Bar2D2Node_Assembly函数进行刚度矩阵的组装。

>> KK = zeros(8,8);
>> KK = Bar2D2Node_Assembly(KK,k1,1,2);
>> KK = Bar2D2Node_Assembly(KK,k2,2,3);
>> KK = Bar2D2Node_Assembly(KK,k3,1,3);
>> KK = Bar2D2Node_Assembly(KK,k4,4,3);

KK长这个样

（4）边界条件处理及刚度方程求解（求各个节点的位移）

实际上就是把不动的节点的行和列划掉。
节点1在x和y方向上不动，节点2只在x方向上移动，节点3在x和y方向上都有位移，节点4在x和y方向上不动。因此最后得到的位移矩阵就是3×3的刚度矩阵。再将节点力带入，可得到位移矩阵。

>> k = KK([3,5,6],[3,5,6])

k =

   1.0e+08 *

    0.7375   -0.0000   -0.0000
   -0.0000    1.1151    0.2832
   -0.0000    0.2832    1.1957

>> p=[20000;0;-25000];
>> u = k\p

u =

   1.0e-03 *

    0.2712
    0.0565
   -0.2225

>> 

其中u是位移矩阵

（5）支反力的计算
首先把总的结点位移列出来，将总的结点位移乘上总的刚度矩阵得到所有结点里的结果，这个结果包含外部力和支反力。

>> q = [0 0 0.0002712 0 0.0000565 -0.0002225 0 0]'

q =

   1.0e-03 *

         0
         0
    0.2712
         0
    0.0565
   -0.2225
         0
         0

>> P =KK*q

P =

   1.0e+04 *

   -1.5833
    0.3126
    2.0001
    2.1879
   -0.0001
   -2.5005
   -0.4167
         0

>> 

以上内容源自《有限元分析及应用》清华大学 曾攀老师主讲