【基础算法练习】前缀和与差分模板

前缀和算法思想

用 O(N) 的复杂度构建前缀和数组，通过这种方式达成 O(1) 的时间来得到区间和，说是一种算法，其实可以说是一种常用的算法思想

差分算法思想

用 O(N) 的复杂度构建差分数组，通过这种方式达成 O(1) 的时间让一个区域内的值同时 + C

C++ 版本的前缀和模板

一维前缀和

vector<int> v(N), arr(N); // v 是原数组, arr 是前缀数组

for (int i = 1; i <= n; i++) arr[i] = arr[i - 1] + v[i];

cout << arr[r] - arr[l - 1] << endl;

v 就是题目给出的数组，arr 就是我们构建的前缀和数组，求一维前缀和的公式就是：arr[i] = arr[i - 1] + v[i]

如果我们要求区间 [ l，r ]，只需要：arr[r] - arr[l - 1]

二维前缀和

vector<vector<int>> vv(N, vector<int>(N)), arr(N, vector<int>(N));

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= m; j++)
        arr[i][j] = vv[i][j] + arr[i - 1][j] + arr[i][j - 1] - arr[i - 1][j - 1];

cout << arr[x2][y2] - arr[x1 - 1][y2] - arr[x2][y1 - 1] + arr[x1 - 1][y1 - 1] << endl;

二维前缀和的公式是：arr[i][j] = vv[i][j] + arr[i - 1][j] + arr[i][j - 1] - arr[i - 1][j - 1]

记忆方法： 把 i，j 位置本身（vv[i][j]），以及上面的前缀和，左边的前缀和加在一起，再减去他们共同的部分（加过两次的部分）

如果要求 (x1，y1) 到 (x2，y2) 这个区间内的值，用这个公式：arr[x2][y2] - arr[x1 - 1][y2] - arr[x2][y1 - 1] + arr[x1 - 1][y1 - 1]

记忆方法： 当前区域的前缀和，减去一个 x1-1 和一个 y1-1，分别配上 y2 和 x2，最后加上他们多减去的位置：arr[x1-1][y1-1]

（PS：这次没有 Golang 版本的代码，但其实都是一样的，开数组然后构建前缀和，不同语言没有任何差别，这里就摸鱼了）

C++ 版本的差分模板

一维差分

vector<int> v(N), arr(N);

void insert(int l, int r, int c) {
    arr[l] += c;
    arr[r + 1] -= c;
}

for (int i = 1; i <= n; i++) insert(i, i, v[i]);

insert(l, r, c);

for (int i = 1; i <= n; i++) arr[i] += arr[i - 1];

insert 函数的操作是让 [l，r] 的区间 + C

差分数组的性质就是，在 l 位置 + C，原数组 l 及之后的的区间值会全部 + C，让 r + 1 位置 - C，就能做到 O(1) 的时间复杂度，让原数组的 [l，r] 区间全部完成 + C 的操作

假设我们对差分数组 [l，l] 位置 + C，那其实就是让原数组的 l 位置 + C，我们就可以利用这个性质，通过 insert 操作通过原数组的值构建差分数组，之后还能复用 insert 方法完成区间值的修改

差分数组可以通过求自身的前缀和数组的形式，将差分数组转换成原数组，也就是：arr[i] += arr[i - 1]

二维差分

vector<vector<int>> vv(N, vector<int>(N)), arr(N, vector<int>(N));

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
    arr[x1][y1] += c;
    arr[x2 + 1][y1] -= c;
    arr[x1][y2 + 1] -= c;
    arr[x2 + 1][y2 + 1] += c;
} 
                
for (int i = 1; i <= n; i++) 
    for (int j = 1; j <= m; j++)
        insert(i, j, i, j, vv[i][j]);
        
insert(x1, y1, x2, y2, c);

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= m; j++)
        arr[i][j] += arr[i - 1][j] + arr[i][j - 1] - arr[i - 1][j - 1];

二维差分跟一维也是同理，而且他的 insert 计算和前缀和刚好相反，比较好记忆，二维前缀是分别减去 x1-1，y1-1，加上 x1y1 都 -1，而二维差分是分别减去 x2+1，y2+1，然后加上 x2y2 都 +1