常见算法思想4：迭代法

迭代法

迭代法也被称为辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，在解决问题时总是重复利用一种方法。与迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性解决问题。迭代法又分为精确迭代和近似迭代。“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法，功能都比较类似。

在使用迭代算法解决问题时，需要做好如下3个方面的工作：
(1)确定迭代变量
在可以使用迭代算法解决的问题中，至少存在一个迭代变量，即直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量。
(2)建立迭代关系式
迭代关系式是指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式或关系。通常可以使用递推或倒推的方法来建立迭代关系式，迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键。

(3)对迭代过程进行控制

在编写迭代程序时，必须确定在什么时候结束迭代过程，不能让迭代过程无休止地重复执行下去。通常可分为如下两种情况来控制迭代过程：

所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来。可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。
所需的迭代次数无法确定，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

迭代与递归的区别

从“编程之美”的角度看，可以借用一句非常经典的话：“迭代是人，递归是神！”来从宏观上对二者进行把握。

从概念上讲，递归就是指程序调用自身的编程思想，即一个函数调用本身；迭代是利用已知的变量值，根据递推公式不断演进得到变量新值得编程思想。

从直观上讲，递归是将大问题化为相同结构的小问题，从待求解的问题出发，一直分解到已经已知答案的最小问题为止，然后再逐级返回，从而得到大问题的解(一个非常形象的例子就是分类回归树 classification and regression tree，从root出发，先将root分解为另一个(root,sub-tree)，就这样一直分解，直到遇到leafs后逐层返回)；而迭代则是从已知值出发，通过递推式，不断更新变量新值，一直到能够解决要求的问题为止。

迭代与递归的转换

理论上递归和迭代可以相互转换，但实际从算法结构来说，递归声明的结构并不总能转换为迭代结构(原因有待研究)。迭代可以转换为递归，但递归不一定能转换为迭代。

递归转迭代

将递归算法转换为非递归算法有两种方法，一种是直接求值(迭代)，不需要回溯；另一种是不能直接求值，需要回溯。前者使用一些变量保存中间结果，称为直接转换法，后者使用栈保存中间结果，称为间接转换法。

直接转换法：直接转换法通常用来消除尾递归(tail recursion)和单向递归，将递归结构用迭代结构来替代。(单向递归 → 尾递归 → 迭代)

间接转换法：递归实际上利用了系统堆栈实现自身调用，我们通过使用栈保存中间结果模拟递归过程，将其转为非递归形式。

尾递归函数递归调用返回时正好是函数的结尾，因此递归调用时就不需要保留当前栈帧，可以直接将当前栈帧覆盖掉。

递归转迭代之尾递归.png

Go语言描述

还是以斐波那契数列为例吧：
递归方式：

// 递归生成斐波那契数
func Fibonacci(n uint) uint {
    if n <= 2 {
        return 1
    }
    return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2)
}

迭代方式：

// 获取斐波那契数列
func GetFibonacciArray(n int) []int {
    fArr := make([]int, n+1, n+1) // 数列第一位从下标1开始

    fArr[1] = 1
    fArr[2] = 1

    for i := 3; i <= n; i++ {
        fArr[i] = fArr[i-1] + fArr[i-2]
    }

    return fArr[1:]
}

就以上斐波那契数列的生成为例，尽管递归看起来比较简单，但迭代方式确实比递归方式效率高。