第一章 建立数学模型

1.1 从显示对象到数学模型

究竟什么是模型

我们平常看见的各种东西其实都是模型，比如玩具车、照片等就是实物模型；地图、化学学习中的分子结构图就属于符号模型；在物理学习中的各个我们常说的模型实际上就属于物理模型。

将以上概念的共同点进行汇总能得出：模型是为了一定目的，对客观事物的一部分及逆行减缩、抽象、提炼出来的原型 的替代物，它集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。

我们见到过的数学模型——“航行问题”

从这个模型中的我们呢可以得到建立数学模型的基本步骤

而数学建模（Mathematical Modeling）与数学模型（Mathematical Model）不同

数学模型是指处于某种目的、而根据某种手段得到的一个数学结构

而数学建模是指建立数学模型的全过程（包括表述问题、求解、解释、检验等）

从这个角度看，我们中学阶段对数学建模已经相当熟悉了

理解题目->设置变量->数学物理公式求解->回答问题->验证对错

由此可见数学建模的重要性

1.2 数学建模的重要意义

数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越收到人们重视。

1.3 数学建模事例

1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗

问题分析：通常椅子三条腿着地 --> 放稳需要四条腿

设初始位置为ABCD、旋转后的图形和原图形的夹角为θ

模型构成 数学语言转换：至少三只着地->肯定有两个对角均着地

模型求解 巧妙变换出现h（θ0）=0

1.3.2 商人们怎样安全过河

这个问题我们小学时在数学课本上见过类似的题目，我们是利用自己的逻辑跳过步骤直接得到的答案，如果我们使用数学模型该如何解答呢？

1.3.3 如何预报人口的增长

传统指数增长模型——马尔萨斯提出（1798）具有一定的局限性

阻滞增长模型（Logistic模型）

利用人口增长率和xm求解s然后带入到Logistic中求r

增长的人数

带入验证

符合

1.4 数学建模的方法和步骤

1.4.1 数学建模的基本方法

机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律

测试分析：将对象看作“黑箱”，通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型

二者结合：用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型参数

1.4.2 数学建模的一般步骤

模型准备：形成一个比较清晰的“问题”

模型假设：做出合理假设

模型构成：用数学语言符号描述问题（尽量简单的数学工具）

模型求解：使用各种数学方法、软件和计算机技术

模型分析：误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析等

模型检验：与实际联系、检验模型的合理性、适用性

模型应用

1.4.3 数学建模的全过程

实践->理论->实践

1.5 数学模型的特点和分类

1.5.1 数学模型的特点

模型的逼真性和可行性

模型的非预制性

模型的惭进性

模型的条理性

模型的强健性

模型的技艺性

模型的可转移性

模型的局限性

1.5.2 数学模型的分类

应用领域：人口、交通、经济、生态……

数学方法：初等数学、微分方程、规划、统计……

表现特性：确定和随机、静态和动态、离散和连续、线性和非线性

建模目的：描述、优化、预报、决策.…

了解程度：白箱、灰箱、黑箱

1.6 怎样学习数学建模

数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术，技术大致有章可循，艺术无法归纳成普遍适用的准则。

想像力 洞察力 判断力

学习、分析、评价、改进别人作过的模型

亲自动手，认真作几个实际题目

学习书籍：《数学模型》——姜启源，谢金星，叶俊