科里奥利力的物理理解、推导与加速度变换

目录

1、惯性系与加速度

2、速度变换

3、加速度变换与科氏加速度

4、科氏加速度的理解

① 加速度变换和速度变换是一脉相承的

②科氏加速度和向心加速度性质不同

③科氏加速度由两部分构成

④科氏加速度的直观感受

5、科里奥利力

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科里奥利力，又称科氏力、哥氏力，是惯性力的一种。

与之对应的是科氏加速度，是加速度转换中的一项。

其中是非惯性系（动系）匀速旋转的恒定角速度，是物体相对于非惯性系（动系）的相对速度。

教材和网络上关于科氏力和科氏加速度的推导都很多，但大多是基于数学上速度求导得到这项加速度，并没有解释这项加速度的物理含义，再加上取了这么一个拗口的名字，让人很难对其有直观认识，总觉得是多余的一项。比如离心力和向心加速度,虽然也是数学公式推导而来，但是很符合日常生活中的常识——一个旋转的物体总是有向外甩的趋势，离心力由此得名。

为了讲清楚科里奥利力是怎么来的，有必要先介绍一些力学的常识：

1、惯性系与加速度

惯性系（inertial frame）是世界中绝对静止或者做匀速直线运动的参考系，也是牛顿第二定律成立的坐标系。可见我们日常讨论的加速度都应该是相对于惯性系的，因为只有相对于惯性系的加速度才能被用于牛顿第二定律，才是我们觉得更有意义的加速度，我把它记作，则牛顿第二定律表示为。其中 表示相对于参考系的矢量，也就是在参考系中测量的。

当然也有很多坐标系是非惯性系（non-inertial frame），比如相对于惯性系做加速平动的参考系，或者相对于惯性系做转动的参考系，或者两种运动兼而有之的参考系。如果惯性系被认为是静系，那这些非惯性系就可以看作动系。显然，相对于非惯性系的加速度并不满足牛顿第二定律，因为，相对于非惯性系的加速度显然没有考虑因为非惯性系加速平动或者转动而带来的牵连加速度。为了使得非惯性系下也能靠来用牛顿第二定律，我们想要知道和之间的变换关系，即相对于惯性系（静系）的加速度和相对于非惯性系（动系）的加速度的转换关系，即动静系间的加速度变换问题。注意以下讨论的动静系变换不一定要是惯性系和非惯性系之间，只要是有相对平动或转动的两个参考系就行。

2、速度变换

加速度变换和速度变换有着类似之处，因此在讨论动静系间的加速度变换问题前，我们先看看速度变换，也就是著名的伽利略变换：

假设有静系和动系，静系原点到动系原点位置矢量为，有一个物体，它相对于静系原点的位矢为，相对动系原点的位矢为。显然有以下位置变换：

i）动系只有相对于静系速度为的平动，即。设物体相对于静系的速度为，相对于动系的速度为，以上位置变换相对时间求导，则这两个速度的变换关系如下：

可见相对于静系的速度（也叫绝对速度）由两部分构成，一部分是动系相对于静系的速度（也叫牵连速度），另一部分是物体相对于动系的平动速度（也叫相对速度）。即伽利略变换为

绝对速度 = 平动牵连速度 + 相对速度

注意以上速度变换只成立于动系相对静系只有平动的情况。

ii）如果动系相对于静系还有恒定的转动角速度，则显然还应加上一项由于动系转动引起的线速度，其中是物体相对于动系的位置矢量。即动静系间的速度变换为：

其中线速度项，伽利略变换推广为：

绝对速度 = 平动牵连速度 + 线速度 + 相对速度

以下主要考虑动系只有匀速转动、没有平动的情况，即，且取，此时不再区分和，统一写为。此时，​​​​​​动静系间的速度变换简化为：

即

速度其实就是位矢关于时间的导数，接着来看上面这个速度变换的公式，可以得到：

上式可以理解为：

“旋转且变化的矢量”相对于静系的变化率 = 动系旋转角速度 × 矢量 + 矢量相对于旋转动系的变化率

可见，矢量相对于静系的变化率并不等于其相对旋转坐标系（动系）的变化率，还应加一项旋转角速度×该矢量。如果，即动系没有相对静系的旋转时（可以有相对平动，而矢量具有平移不变性，因此平动对矢量没有影响），矢量相对于静系的变化率还是等于矢量相对于动系的变化率的。这个结论不只适用于位置矢量，也可以推广到一般的矢量，比如速度矢量也是适用的，后面会看到加速度变换中就用到了类似的过程。

3、加速度变换与科氏加速度

类似地，设有静系和动系.

i）动系只有相对于静系加速度为的平动。有一个物体，设它相对于静系的加速度为，相对于动系的加速度为，则这两个加速度的变换可以由对速度变换求导得到：

 

 

 

看起来也满足和速度变换类似的形式，即：

绝对加速度 = 平动牵连加速度 + 相对加速度

 注意以上加速度变换只成立于动系相对静系只有平动的情况，只有在这种情况下，根据2中的讨论，由于动系没有相对于静系的旋转，才有 成立。

ii）如果动系相对于静系还有恒定的转动角速度，则需要有以下改进：

① 以上求导基于的速度变换应加上线速度项，而且带有角速度的牵连旋转。

 

② 相对于动系的速度矢量也带有角速度的牵连旋转，因此对时间求导时应该用前文2中提到的旋转矢量求导公式，即：

  

重新对速度变换中的速度矢量求导：

 

可见，相比于动系只有平动的情况，因为此时动系还有旋转角速度，动静系间的加速度转换多出了几项，其中显然是向心加速度，就被叫做科里奥利加速度。

即当动系有相对于静系的加速平动和匀速转动时，动静系间的加速度变换为：

绝对加速度 = 平动牵连加速度 + 向心加速度 + 科里奥利加速度 + 相对加速度

4、科氏加速度的理解

以上仍然是严谨的求导数学推导，并没有说明科氏加速度是自然合理的。下面从几个方面说明科氏加速度的存在是合理的，符合直觉的：

① 加速度变换和速度变换是一脉相承的

以上推导可以看出，当动静系间没有旋转时，速度变换和加速度变换的形式均为：

绝对速度   = 平动牵连速度  +  相对速度
绝对加速度 = 平动牵连加速度 + 相对加速度

但是当动系相对于静系还有匀速转动时，速度和加速度变换变为：

绝对速度   = 平动牵连速度  +  （线速度）  + 相对速度
绝对加速度 = 平动牵连加速度 + （向心加速度 + 科里奥利加速度） + 相对加速度

 可见，加速度变换中的（向心加速度+科氏加速度）类似于速度变换中的 （线速度），都是速度/加速度变换过程中由于动系旋转产生的附加速度/加速度。可以大胆推测，加加速度（jerk）变换中将会有更多的附加项，而且会被赋予其他的名称。

②科氏加速度和向心加速度性质不同

向心加速度为 ，说明只要动系有旋转，这项就会存在，而且方向是指向旋转轴（中心），向心由此得名。但是科氏加速度为 ，说明不仅动系要有旋转，而且物体还要有相对于动系的速度才会有科氏加速度，而且方向垂直于相对速度。  

③科氏加速度由两部分构成

 虽然科氏加速度为，但其实是由两个 组成的，它们来源不同，物理含义也不同。从以上推导可以看出：

• 一项  来自于，即旋转带来的线速度项求导产生。具体来源于，即相对运动 使得相对位矢发生了变化，进而使得线速度发生了变化，产生了线速度的增量加速度 ，即 。
• 还有一项  来自于，即相对速度求导时，由于动系旋转使得，即，而是多出了一项使得相对速度一起旋转的项 。 

以上两项都和相对运动有关，合在一起叫科氏加速度，因此不是很直观。

④科氏加速度的直观感受

想象你站在一个定轴匀速旋转的大圆盘上，如果你只是站着不动和圆盘一起旋转，那么你的绝对加速度只有向心加速度，但如果你还要相对圆盘匀速走动，显然由于圆盘每个位置的旋转速度不同，你必须有额外的加速度来适应圆盘不同位置的旋转速度；同时你还需要有加速度来保证你的相对速度也跟着圆盘一起旋转。这两项一起构成了科氏加速度。

5、科里奥利力

 科氏力只是在科氏加速度基础上乘上质量，并取方向相反，即。科氏加速度是加速度变换中真实存在的加速度，但是科氏力只是惯性力的一种，不是真实作用在物体上的力，而是为了在非惯性系中使用牛顿第二定律而凑出的虚假的力。

回顾开篇提到的非惯性系，相对于非惯性系的加速度并不满足牛顿第二定律，即，因为 。这促使我们探索和之间的变换关系。以上加速度变换已经搞清楚 和之间的关系了：当在动系相对静系做加速度为的平动和角速度为的匀速转动时：

 那么此时惯性系中的牛顿第二定律可以写为非惯性系中的形式：

 

可见，如果把左式的也看成三个力（惯性力），那在非惯性系中“牛顿第二定律”好像也成立了。其中叫牵连力，叫离心力（对应向心加速度，与其方向相反），就是科氏力了。

虽然科氏力是虚假的惯性力的一种，只是为了凑牛顿第二定律而提出的，但却符合直观感受。比如前文提到的站在转盘上的例子，如果你要在转盘上跑动，那必然会感受到一个将你向一侧推的力，要把你推倒。这个力并不是真的施加给你的，而是你选择了转盘这个非惯性系作为参考系而产生的。