Day45｜动态规划part07：70. 爬楼梯 （进阶）、322. 零钱兑换、279. 完全平方数
-
爬楼梯（进阶）
leetcode链接：力扣题目链接
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
示例 1：
输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
示例 2：
输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶
之前已经做过这题了，实际上这题可以抽象成一个完全背包问题（只有两种物品，一个1一个2，但是可以无限取），接下来用动规五部曲重新分析一下。
- 确定dp数组及其含义
dp[j]表示爬楼梯为j时的爬法。
- 确定递推公式
跟之前组合问题总和一样，问的是爬法数量：
dp[j] = dp[j - value[i]]，其中value={1,2}
- dp数组初始化
dp[0] = 1；
- 确定遍历顺序
这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！
所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。
每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。
- 模拟打印dp数组
最终代码如下：
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
vector<int> dp(n + 1, 0);
dp[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= m; j++){
if(i - j >= 0){
dp[i] += dp[i - j];
}
}
}
return dp[n];
}
};
这里的m = 2就是本题的代码。
322. 零钱兑换
leetcode链接：力扣题目链接
视频链接：装满背包最少的物品件数是多少？| LeetCode：322.零钱兑换
给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。
计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
示例 3：
输入：coins = [1], amount = 0
输出：0
这题需要找到最少的硬币个数。因此需要改变套路了。
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
- 确定递推公式
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]），然后取最小的。
dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])
- 确定dp数组的初始化
dp[0] = 0;
这题需要注意的是：
其他下标对应的数值呢？考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
所以下标非0的元素都是应该是最大值。
- 确定遍历顺序
（1）本题求最小硬币数，有顺序和没有顺序都可以，这里先硬币后背包。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
（2）本题完全背包，故可以，故可以从前往后遍历，
- 举例推导dp数组
最终代码：
class Solution {
public:
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
vector<int> dp(amount + 1, INT32_MAX);
dp[0] = 0;
for(int coin : coins){
for(int j = coin;j <= amount; j++){
//只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要
if (dp[j - coin] != INT32_MAX) {
dp[j] = min(dp[j], dp[j - coin] + 1);
}
}
}
return dp[amount] == INT32_MAX ? -1 : dp[amount];
}
};
这里要注意，只有只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要，负责dp[j - coin] +1会溢出。
279.完全平方数
leetcode链接：力扣题目链接
视频链接：换汤不换药！| LeetCode：279.完全平方数
给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
示例 1：
输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4
示例 2：
输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9
这题实际上还是背包问题，其中每个i的平方就是物品，目标整数n就是背包容量，物品可重复取。总的来说跟上一题一样。
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]
- 确定递推公式
dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。
此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
- dp数组如何初始化
dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。
有同学问题，那0 * 0 也算是一种啊，为啥dp[0] 就是 0呢？
看题目描述，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …），题目描述中可没说要从0开始，dp[0]=0完全是为了递推公式。
非0下标的dp[j]应该是多少呢？
从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。
- 确定遍历顺序
外层遍历物品，内层遍历背包，内层从小到大遍历。
- 打印dp数组
最终代码：
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector<int> dp(n + 1, INT32_MAX);
dp[0] = 0;
for(int i = 1; i * i <= n; i++){
for(int j = i * i; j <= n; j++){
if(dp[j - i * i] != INT32_MAX){
dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
}
}
}
return dp[n];
}
};
这里把i限制在（1，sqrt(n)）范围内。
总结
- 今天又接触一种题型，就是最小物品数凑背包问题，其实还是一样的，就是递推公式有区别，用了min；
- 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。完全背包内层可从前往后遍历。
- 把dp[j]初始化为最大，根据递推公式来。