《动手学深度学习(PyTorch版)》笔记3.7

注：书中对代码的讲解并不详细，本文对很多细节做了详细注释。另外，书上的源代码是在Jupyter Notebook上运行的，较为分散，本文将代码集中起来，并加以完善，全部用vscode在python 3.9.18下测试通过。

Chapter3 Linear Neural Networks

3.7 Concise Implementations of Softmax Regression

从计算角度来看，指数可能会造成数值稳定性问题。softmax函数${\hat{y}}_j=\frac{\exp (o_j)}{{\sum }_k\exp (o_k)}$，其中${\hat{y}}_j$是预测的概率分布，$o_j$是未规范化的预测$\mathbf{o}$的第$j$个元素。如果$o_k$中的一些数值非常大，那么$\exp (o_k)$可能大于数据类型容许的最大数字，即上溢（overflow）。这将使分母或分子变为inf（无穷大），最后得到的是0、inf或nan（不是数字）的${\hat{y}}_j$。在这些情况下，我们无法得到一个明确定义的交叉熵值。

解决这个问题的一个技巧是：在继续softmax计算之前，先从所有$o_k$中减去$\max (o_k)$。这里可以看到每个$o_k$按常数进行的移动不会改变softmax的返回值：

$$\begin{array}{rl}{\hat{y}}_j& =\frac{\exp (o_j-\max (o_k))\exp (\max (o_k))}{{\sum }_k\exp (o_k-\max (o_k))\exp (\max (o_k))}\\ & =\frac{\exp (o_j-\max (o_k))}{{\sum }_k\exp (o_k-\max (o_k))}.\end{array}$$

在减法和规范化步骤之后，可能有些$o_j-\max (o_k)$具有较大的负值。由于精度受限，$\exp (o_j-\max (o_k))$将有接近零的值，即下溢（underflow）。
这些值可能会四舍五入为零，使${\hat{y}}_j$为零，
并且使得$\log ({\hat{y}}_j)$的值为-inf。
反向传播几步后，我们可能会发现自己面对一屏幕可怕的nan结果。

尽管我们要计算指数函数，但我们最终在计算交叉熵损失时会取它们的对数。通过将softmax和交叉熵结合在一起，可以避免反向传播过程中可能会困扰我们的数值稳定性问题。
如下面的等式所示，我们避免计算$\exp (o_j-\max (o_k))$，而可以直接使用$o_j-\max (o_k)$，因为$\log (\exp (\cdot ))$被抵消了。

$$\begin{array}{rl}\log ({\hat{y}}_j)& =\log \left(\frac{\exp (o_j-\max (o_k))}{{\sum }_k\exp (o_k-\max (o_k))}\right)\\ & =\log (\exp (o_j-\max (o_k)))-\log \left(\sum _k\exp (o_k-\max (o_k))\right)\\ & =o_j-\max (o_k)-\log \left(\sum _k\exp (o_k-\max (o_k))\right).\end{array}$$
本节代码如下：

import torch
from torch import nn
import matplotlib.pyplot as plt
from d2l import torch as d2l

#初始化
batch_size=256
train_iter,test_iter=d2l.load_data_fashion_mnist(32)

#PyTorch不会隐式地调整输入的形状，因此我们在线性层前定义了展平层（flatten），来调整网络输入的形状
net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))

def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)#仍然以均值0和标准差0.01随机初始化权重

#对神经网络net的每一层执行权重初始化
net.apply(init_weights)
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
#如果reduction='none'，会返回一个损失向量，每个元素是对应样本的损失。如果reduction='mean'（默认值），会返回损失的平均值。如果reduction='sum'，会返回损失的总和。
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)
num_epochs = 10
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)
plt.show()