摘要
双螺母滚珠丝杠承受双向预紧力的作用，导致滚珠与滚道接触区域发生变形。在这种情况下，滚珠丝杠的静刚度分析和计算就显得尤为重要。然而，传统的计算方法是不准确的。为此，提出了一种新的双螺母滚珠丝杠静刚度分析方法。通过对滚珠丝杠结构和内部载荷分布的分析，建立了基于赫兹接触理论的载荷变形模型。通过对滚珠丝杠的载荷分析，建立了滚珠丝杠的静刚度模型，并应用于实例研究和有限元仿真。对本课题组研制的高刚度重型搅拌摩擦焊机器人 X 轴进给系统中使用的 THK 双螺母滚珠丝杠的刚度进行了计算。当工作负荷小于1.1x10^4 N 时，双螺母静刚度曲线的斜率随工作负荷的增加而显著增加，当工作负荷大于1.1x10^4 N 时，其向上的斜率趋于稳定。模拟刚度曲线与实验刚度曲线吻合较好，当外加轴向载荷大于2.8 × 104N 时，用有限元分析计算的刚度值逐渐趋于理论值，当轴向载荷大于3.0 × 10^4N 时，模拟曲线与实验曲线吻合较好。双螺母滚珠丝杠的分析方法简洁、准确，两种方法计算的刚度曲线一致。本文对双螺母滚珠丝杠的静刚度进行了仿真分析，以期对高刚度重型设备的设计有所帮助。
1.滚珠丝杠广泛应用于机械设备，特别是数控机床的进给轴。滚珠丝杠的拥有属性是高精度、高刚度、微进给和高速进给。然而，滚珠与滚子之间的间隙会引起滚珠丝杠的误差。为了解决这一问题，研制了双螺母滚珠丝杠。双螺母滚珠丝杠的预紧方法主要包括定位预紧和定压预紧。目前，定位预紧最常见的应用包括在两个螺母之间增加一个刚性垫圈以产生它们之间的轴向相对偏移，从而产生轴向推力。预紧力可以通过不同厚度的垫片来控制。恒压预紧力主要由安装在两个螺母之间的弹簧产生轴向弹性拉力。这是滚珠丝杠副的轴向预紧力，近似为常数[2]。本研究采用定位预紧法。滚珠丝杠的轴向刚度是滚珠丝杠最重要的性能指标。它显著影响其定位精度，动态性能和传输性能[3]。为了优化滚珠丝杠的预紧力系统，Verl 等[4]研究了预紧力、螺母和螺纹滚道的几何参数对螺母结构中滚珠丝杠轴向刚度的影响。他们提出了滚珠丝杠轴向刚度的计算方法。滚珠丝杠的几何误差对其刚度有显著影响。Drossel 等[5]提出了一种重置滚珠丝杠传动预加载损失的方法，从而补偿了由于寿命磨损造成的定位精度损失，并设计了一种用于滚珠丝杠传动的新型形状记忆合金(SMA)体致动器模块。
由于滚珠丝杠结构的复杂性，很难建立其刚度模型，许多学者提出了不同的建模方法。为了研究热对滚珠丝杠刚度的影响，Shi 等[6]提出了一种利用模煳聚类和线性回归对热误差进行建模的理论方法。Li 等人将蒙特卡罗方法和有限元分析结合起来，提出了一种自适应实时模型。本文介绍了一种计算双螺母滚珠丝杠静刚度的新方法。考虑双螺母滚珠丝杠的几何尺寸和材料特性，基于赫兹接触理论对其内部载荷分布进行分析，建立了滚珠丝杠在载荷作用下的变形模型。通过分析滚珠丝杠的受力情况，建立了滚珠丝杠的轴向刚度模型。将刚度模型应用于研究小组开发的高刚度重型搅拌摩擦焊机器人 X 轴进给系统中的 THK 双螺母滚珠丝杠。然后进行了有限元模拟。结果表明，静刚度分析方法准确、有效，得到的静刚度曲线与仿真曲线吻合较好。研究结果可为高刚度重型设备传动系统(滚珠丝杠)的选择和设计提供指导和参考。
2. 双螺母滚珠丝杠的静刚度分析与计算
滚珠丝杠的静刚度是指沿着滚珠丝杠的轴向刚度。根据计算公式，滚珠丝杠的轴向刚度是它所承受的轴向载荷随轴向位移变化的差值[8]。在轴向工作载荷的作用下，由于弹性变形，丝杠之间的相对位移发生了变化。然而，这种变化主要是由于滚珠与滚道之间的接触角的变化所引起的，作用在滚珠轴承上的相应载荷也是沿着接触点的法向载荷。因此，要确定滚珠丝杠的轴向接触刚度，首先必须得到作用在滚珠丝杠上的轴向外载荷与法向载荷之间的关系。这样就可以确定滚珠丝杠的轴向位移与法向接触弹性变形之间的关系[9]。
2.1双螺母滚珠丝杠的几何参
数图1显示了双螺母滚珠丝杠的几何参数。
滚珠丝杠由丝杠、丝杠螺母和滚珠组成。在两个螺母之间，预应力的大小可以使用预应力垫片进行调整[10]。螺母 A 在螺母座位之间有一个易于安装的法兰。其外框尺寸参数主要包括螺杆的公称直径、法兰直径、螺母直径、法兰厚度和预紧垫片厚度。这些几何参数是刚度计算输入条件的一部分。在计算滚珠丝杠的轴向接触刚度时，还使用了与滚珠丝杠内滚道和滚珠丝杠有关的尺寸参数。几何参数主要包括接触角、紧密度、滚珠的柱数和转数、工作滚珠的数量以及滚珠与滚道之间各接触点的主曲率。
2.1.1.螺旋角和螺距
螺母 A 与螺钉接触的部分就是一个例子，如图2所示。球体与螺母侧之间的接触部分用以 i 表示，球体与螺母侧之间的接触部分用以 e 表示。滚珠丝杠的节距是螺旋滚道法线轮廓中两个相邻滚珠中心之间沿螺旋轴线的距离,用 Ph 表示。
螺杆的螺旋角是螺杆圆柱螺旋的切线与圆柱通过切点的直线之间形成的锐角，表示为 λ 。
λ=arctanPh/πd0 其中 λ 和 d0 分别是滚珠丝杠的螺丝角和公称直径。
2.1.2.接触角和滚道曲率比
滚珠丝杠的接触角定义如下。在滚珠丝杠的螺旋滚道的法线轮廓中，滚珠与内滚道和外滚道相切，滚珠的中心和切点之间的连接以及与滚珠丝杠轴线垂直的角度称为接触角 β ，如图3所示。
接触角对滚珠丝杠接触刚度有显著影响。该值越大，接头的轴向承载力越大，即轴向刚度越大。此外，接触角越大，滚珠丝杠传动效率越高，使用寿命越长。然而，不建议过大的接触角，因为这会使滚珠和滚道接触的位置变陡，从而影响焊接精度或对滚珠丝杠接头造成疲劳损伤[11]。
在图3中，球的半径为 rw ，螺杆的滚道曲率半径为 r，螺母的滚道曲率半径为 re 。滚珠丝杠中的滚珠半径与滚道曲率半径的比值称为滚珠丝杠 τ 接头的滚道曲率比。滚道的曲率比是影响滚珠丝杠性能的重要因素。数值越大，滚珠丝杠与螺母之间的接触越紧密，接触应力越低，滚珠丝杠接头的承载能力越大，接触刚度越大。相反，接触刚度降低，接触应力增大。对于目前使用的滚珠丝杠，滚道曲率比一般为1.04或1.11[12]。
2.1.3.滚珠柱、滚珠和工作球的数量
关于多螺纹螺栓，滚珠丝杠中的滚珠轴承柱的数量与螺栓中的螺纹或头的数量相同。它是指球链的数量，可以独立操作周围的螺钉。只有一条独立滚珠运动链的螺杆称为单排滚珠丝杠，有两条独立滚珠丝杠的螺杆称为双排滚珠丝杠，有两条或两条以上滚珠丝杠的螺杆称为多排滚珠丝杠。滚珠轴承的绕组数是指在绕组过程中所有工作球绕在螺杆周围的绕组总数[13]。一般来说，螺母上工作球的载荷分布是不均匀的。第一轮的滚珠轴承可以承受总轴向负荷的30-40% ，第二轮约20-30% 的总负荷，第三轮只有约10-20% 的总负荷，和滚珠轴承的背面只有一个小负荷或几乎没有负荷[14]。因此，一般而言，滚珠丝杠副中的滚珠丝杠周期数不超过三圈。单个螺母中工作球轴承数的计算公式如下。
z=iπd0/dwcosλ (2)
其中 z 是单个螺母的工作球轴承数， i 是单个螺母中工作球的转数乘以柱子数， dw 是球的直径。
2.1.4. 主曲率与滚道之间的主曲率和
根据赫兹接触理论和主曲率的定义，滚珠丝杠内外滚道接触点的主曲率可以用数学方法推导出来[15]。滚珠丝杠内外滚道之间的主要曲率与滚珠丝杠的公称直径、螺旋角、接触角和滚道曲率比有关。在滚珠和螺旋滚道表面之间的接触点 i 处的四个主要曲率如下。
ρi11=ρi12=2/dw pi21=−2/τdw pi22=2cosβcosλ/(d0−dwcosβ) (3)
同样，球和螺旋滚道表面接触点的四个主要曲率如下:
ρe11=ρe12=2/dw pe21=−2/τdw pe22=−2cosβcosλ/(d0+dwcosβ) (4)
因此，利用(3)和(4) ，可以得到球在内外滚道接触点 i 和 e 的主曲率之和的表达式。
Σpi=2/dw−2/τdw+2cosβcosλ/(d0−dwcosβ)
Σpe=2/dw−2/τdw−2cosβcosλ/(d0+dwcosβ)
上述公式显示，滚珠与螺旋滚道表面接触点的主曲率总和应大于滚珠与螺旋滚道表面接触点的总和。
2.2. 双螺母滚珠丝杠的内载荷分布
在外部轴向载荷的作用下，滚珠丝杠通过螺母之间的滚珠将载荷传递给螺母，如图4(a)所示。假设滚珠丝杠的丝杠受到外部轴向力 F，由于丝杠和丝杠之间的挤压而产生的球的法向力是 F，所有的球都被平等地加载[16]。
根据图中各参数的空间几何关系，得到滚珠丝杠轴向外载荷与滚珠方向载荷之间的关系。 F=zQsinβcosλ
图4(b)显示了球在正常载荷作用下的弹性变形1。假定滚珠在接触点 e 处与螺旋滚道的弹性变形为 δeQ ，在接触点 i 处与螺旋滚道的弹性变形为 δiQ ，因此，在轴向工作量 F 的作用下，滚珠丝杠在法向力 Q 作用下的总弹性变形为 δQ 。
δQ=δeQ+δiQ
基于参数之间的几何关系，通过球体在法向力作用下产生的法向变形 Q ，可以得到螺母之间产生的轴向变形 δa 。
δa=δQcosλ/sinβ (8)
其中 δa 是滚珠丝杠的轴向变形。通过确定滚珠丝杠的轴向力与滚珠法向力之间的关系，以及滚珠轴向变形与滚珠法向变形之间的关系，利用滚珠丝杠的几何参数和赫兹接触理论[17] ，可以确定滚珠丝杠内滚珠的总法向接触变形 δQ 。由此可以得到其轴向接触变形 δa 与轴向载荷之间的关系
（）δa=（cosλ/z2sin5β）1/3⋅(2K(eeQ)πmaeQ)18(3EΣρeQ3+(2K(eiQ)πmaiQ)18(3EΣρiQ3)F2/3 (9)
其中 ΣρeQ 和 ΣρiQ 分别是球与螺杆和螺旋滚道接触点的主曲率之和， eeQ 和 maeQ 是滚珠滚道点接触理论中与 ρeQ 相关的系数， eiQ 和 maiQ 是滚珠滚道点接触理论中与 ρiQ 相关的系数， K(eiQ) 是第一类与椭圆偏心率 ee 和 ei 相关的完全椭圆积分，而 E 是等效弹性模量。方程(9)可以写成变量 k1 和滚珠丝杠承受的轴向载荷的乘积，如下所示。
δa=K1F2/3 (10)
这是赫兹接触理论中球与滚道接触的弹性变形与三分之二的外部轴向载荷之间的关系[18]。我们可以发现，这个变量只与滚珠丝杠本身的结构参数有关，并不随着外载荷的变化而变化。表达式如下。
（）δa=（cosλ/z2sin5β）1/3⋅(2K(eeQ)πmaeQ)18(3EΣρeQ3+(2K(eiQ)πmaiQ)18(3EΣρiQ3)F2/3 (11)
2.3. 双螺母滚珠丝杠的载荷分析
双螺母预紧滚珠丝杠广泛应用于数控机床。与单螺母滚珠丝杠相比，双螺母滚珠丝杠与母螺母丝杠在水平传播中没有间隙，因此显著提高了焊接精度，预紧力的存在也对提高双螺母滚珠丝杠的轴向接触刚度起着重要作用[19]。双螺母的预紧结构有多种类型，本文介绍了双螺母的定位预紧，如图5所示。两个螺钉并排安装在滚珠丝杠上，通过调整两个螺钉之间的预紧垫片的厚度来调整轴向预紧力。[20].在这里，承受工作负荷的螺母 A 是工作螺母，而不承受工作负荷的螺母 B 是预紧螺母。该方法具有结构简单、预应力可靠、装拆方便、轴向刚度好等优点。
值得注意的是，双螺母预紧装置不能改善滚珠丝杠的轴向承载性能，只能提高接头的轴向刚度，消除传动间隙。此外，在许多应用中，双螺母滚珠丝杠操作时，大多数时间预加载水平过高，导致过度摩擦，磨损和产热。图6显示了双螺母预紧滚珠丝杠的受力分析。当滚珠丝杠不承受任何外载荷时，在中间预紧垫片的作用下，滚珠丝杠的左右两个螺钉仅承受预紧力 Fp 的作用。当右侧螺母 B 承受轴向工作负荷 F 时，作用在螺母两侧的实际载荷会发生一定程度的变化。由于工作负荷的作用，左侧螺母 A 的实际负荷增加。此时螺母 A 上的载荷为 FA ，增加的力为 F1 。由于工作载荷的作用，右侧螺母 B 的承载能力下降。设其值为 FB ，减载为 F2 。因此，螺母 B 可以看作是预紧螺母，螺母 A 可以看作是工作螺母。在上述外载荷作用下，球体两侧的螺钉将承受相应的载荷。假设作用在球上的力是均匀的，左螺母 A 处球的法向接触力为 QA ，右螺母 B 处球的法向接触力为 QB 。
通过对双螺母预紧滚珠丝杠进行载荷分析，得到如下表达式。
FA=F1+FP
FB=FP−F2 (12)
根据螺杆的载荷与球的法向力之间的关系，可以得到(6)。
QA=F1+FPZcosβsinλ
QB=FP−F2Zcosβsinλ (13)
上述受力分析表明，螺母 A、螺母 B 以及它们之间的预紧垫片承受着外部轴向载荷和球沿沟槽作用的法向载荷。双螺母滚珠丝杠螺母垫片总成的力平衡方程如下。
F+QBzsinβcosλ=QAzsinβcosλ (14)
通过将(13)代入上述方程，可以得到由于外部工作载荷和轴向载荷3引起的螺母 A 和 B 的增量1和2之间的关系。
F1+F2=F (15)
基于双螺母滚珠丝杠的受力分析，如图4所示，可以得到滚珠丝杠在各种载荷下的变形情况，如图7所示。 δP 是螺母 A 和 B 在预紧垫片预紧力 FP 的作用下的弹性变形。
图中的红色虚线表示预拉力作用后两侧螺母的变形轮廓。 δa 和 δb 是滚珠丝杠分别受到外部轴向载荷作用后左右两侧螺母 A 和 B 的弹性变形。图中的细虚线表示当进一步施加外部轴向载荷时两侧螺母的弹性变形。最后，螺母 A 和螺母 B 的总弹性变形分别为 δA 和 δB 。
δA=δa+δb
δB=δp−δb (16)
根据作用在滚珠丝杠上的轴向力载荷与其轴向变形的关系，结合(10)和(16)可以得到以下关系式。
δa=K1[(Fp+F1)2/3−Fp2/3]
δb=K1[Fp2/3−(Fp−F2)2/3] (17)
双螺母预紧的滚珠丝杠在受到外部轴向载荷作用后，除了螺母 A 的压缩变形 δa 和螺母 B 的回复变形 δb 外，预紧的垫片也会因预紧力和外载荷而受到压缩，其变形设定为 δc [21]。根据材料力学原理，预紧垫片的回复变形可以表示为。
δc=KcF1 (18)
其中 Kc 为先张垫片的刚度， Kc=EAc/lc , E 为先张垫片材料的弹性模量， lc 为先张垫片的厚度， Ac 为先张垫片材料的环形截面积， （）Ac=0.25π（D22−D12） , D2 为先张垫片的外径， D1 为先张垫片的内径。根据等变形原理[22] ，螺母 A 的压缩变形与预紧垫片的压缩变形之和等于螺母 B 的恢复变形。变形协调方程如下。
δa+δc=δb (19)
因此，可以从(17)和(18)中获得以下表达式:
K1[(Fp+F1)2/3−Fp2/3]+KcF1=δb=K1[Fp2/3−(Fp−F2)2/3] (20)
如果将上述方程与(15)联系起来，并且已知双螺母预紧滚珠丝杠的外部轴向载荷，就可以求解这两个非线性方程，得到 F1 和 F2 的值。最后，根据滚珠丝杠的轴向刚度公式求得预紧滚珠丝杠的轴向接触刚度。
K=dFdδaxis (21)
其中 K 为双螺母预紧滚珠丝杠的轴向刚度， δaxis 为滚珠丝杠的轴向接触变形。
3.实例分析
以研究小组开发的高刚度重型搅拌摩擦焊机器人的 X 轴进给系统为例进行了分析[23]。该系统的滚珠丝杠(型号 TDB-S-8010)由西班牙舒顿公司生产。TD 表示带预紧的双螺母，B 表示带边缘的法兰螺母，S 表示球的内部循环，8010表示滚珠丝杠的公称直径为80毫米，其引线为10毫米。表1列出了详细的参数。
在搅拌摩擦焊机器人操作期间，由 X 轴滚珠丝杠设定的预紧力 Fp 为10000N，外部轴向负荷的变化范围 F 为5000-40000N。表1列出滚珠丝杠的其他结构参数。螺母、丝杠和滚珠均由轴承钢制成，其弹性模量和泊松比可通过查阅材料手册得到。通过上述双螺母滚珠丝杠在预紧力作用下的刚度计算公式，绘制了机器人 X 轴 TDB 滚珠丝杠轴向接触刚度相对于外部工作载荷的刚度曲线，如图8所示。
计算结果表明，当双螺母滚珠丝杠预紧力为10000N 时，其轴向刚度随外加轴向工作载荷的增加而增加。当轴向工作载荷小于1.1x10^4 N 时，刚度随工作载荷的增加而显著增大; 当工作载荷大于1.1x10^4 N 时，刚度上升趋于稳定
4. 双螺母滚珠丝杠的有限元仿真
为了验证理论计算的准确性，采用有限元分析法绘制滚珠丝杠的刚度曲线。为了便于建立滚珠丝杠的三维模型，选择了一个半球的滚珠丝杠模型，如图9所示。为了提高非线性接触的计算精度，减少计算收敛时间，参照角接触球轴承的分段方法，对接触点处的网格进行了细化。选择表面接触单元 TARGE170和 CONTA174分别作为球和内外滚道的接触位置，并给出了各组件的材料性能。最后，利用镜像和阵列对上述有限元模型进行扩展，建立了滚珠丝杠的完整有限元模型。
用 SOLID45将滚珠丝杠划分为六边形结构网格后，网格数和节点数分别为756865和421378。螺母、丝杆和滚珠由轴承钢制成，弹性模量为2.06 E5 MPa，泊松比为0.3。由于整个滚珠丝杠只承担来自轴向的外部工作负荷，在分析过程中指定了以下边界条件[25] :
(1)螺杆端面的自由度受到所有固定约束。
(2)螺母的端面允许沿轴向的自由度，并约束其他方向的自由度。
(3)内部滚珠轴承约束沿圆柱坐标系的切向自由度，并允许其他两个自由度。
此外，需要为滚珠丝杠规定载荷条件，包括预载荷和轴向工作载荷的应用。利用 ANSYS 中提供的预紧力单元 PRETS179对预紧垫片的效果进行了数值模拟。两个螺母中间的预紧力可设定为1.0 × 10^4N。对预紧螺母的端面施加外加轴向载荷，并进行 ANSYS 分析计算。图10显示了双螺母滚珠丝杠在预紧 Fp=1.0×104N 和外部轴向载荷F=2.5X10^4N 下的有限元分析结果，以下是从图中得出的结论:
1)由于预紧力和外载荷的影响，螺母 A 侧和螺母 B 侧的位移方向相反，垫片附近的滚珠位移绝对值较高。
(2)如图10(b)所示，工作螺母 A 内球体的接触应力大于预紧螺母 B 的接触应力。离预紧垫圈越近，应力值越大。(3)螺母 A 的最大轴向位移为0.208 e-2mm，球的最大冯米塞斯应力为140MPa，两侧的球应力依次减小。最后，通过将滚珠丝杠的轴向载荷除以该方向的最大位移，得到滚珠丝杠的轴向接触刚度。为了将有限元分析数据与刚度理论结果进行比较，在0.5 × 10^4-4.0 × 10^4N (共8组数据)的范围内取轴向工作载荷，并将计算结果转换为刚度数据。图11显示了双螺母滚珠丝杠在外载荷作用下的刚度曲线。
结果表明，当外加轴向载荷小于2.4 × 10^4N 时，用该有限元分析得到的双螺母滚珠丝杠的轴向刚度低于理论值，这主要是因为有限元模型考虑了结构的灵活性和滚珠接触角的变化等因素。此外，接触面积的网格精度对计算结果的精度影响很大，但为了节省计算资源和时间，网格不能划分得太细。当外部轴向载荷大于2.4 × 10^4N 时，随着外部载荷的进一步增加，用有限元分析计算的轴向刚度逐渐接近理论值。这表明，当外载较大时，有限元计算结果与理论计算结果接近。特别是当轴向载荷达到3.0 × 10^4N 时，模拟曲线与试验曲线吻合较好。因此，在选择搅拌摩擦焊机器人的关节刚度时，可以根据载荷综合考虑。这两条曲线(图11)表明，当外载荷在0.5 × 10^4-2.4 × 10^4N 范围内时，理论值大于模拟值，主要是因为有限元模型考虑了结构柔度和球接触角及摩擦系数的变化。
5.结论
本研究为双螺母滚珠丝杠的静刚度计算提供了一种简单、准确、可行的方法。在分析滚珠丝杠结构和内载荷分布的基础上，建立了基于赫兹接触理论的滚珠丝杠承载变形模型。通过对滚珠丝杠的受力分析，建立了滚珠丝杠的静刚度模型。将该模型应用于实例研究和有限元模拟。对本课题组研制的高刚度重型搅拌摩擦焊机器人 X 轴进给系统中使用的 THK 双螺母滚珠丝杠的刚度进行了计算。当轴向工作载荷小于1.1 × 10^4N 时，双螺母的轴向静刚度随工作载荷的增加而显著增加。当工作荷载大于1.1 × 10^4N 时，上升斜率趋于稳定。模拟得到的刚度曲线与实验结果吻合较好。当外部轴向载荷大于2.8 × 10^4N 时，用有限元分析计算的刚度逐渐趋于理论值。当轴向载荷为3.0 × 10^4N 时，两条曲线吻合较好。在机器人 X 轴工作条件下，当外载荷在0.5 × 10^4-2.4 × 10^4N 范围内时，有限元模型考虑了机器人结构的柔度和球接触角的变化等因素，使得理论刚度值与模拟值有较大差异。另外，为了节省计算资源和时间，网格接触面积的精度较低，这也对计算结果的精度有很大的影响。未来的研究将涉及建立刚度模型时考虑结构的柔度和球接触角的变化等因素，以及建立有限元模型时提高接触面的啮合精度。