数模百科】一篇文章讲清楚灰色预测模型GM（1，n）附python代码

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回归正题。

说到GM（1，n）模型，这里面的“1”表示模型中只有一个微分方程，而“n”则说明有n个变量参与进来。与我们之前了解的GM（1，1）模型不同，在GM（1，1）模型中只有一个因变量和一个自变量，而GM（1，n）模型则是在多变量的情况下进行预测，适合那种多因素影响下的预测问题。

比方说，咱们要预测一个地区的电力消费量，这个消费量可能不仅仅和时间有关，还可能和当地的经济发展水平、人口数量、工业结构等多个因素有关。这种多因子的情况下，就可以考虑用GM（1，n）模型来进行预测分析，它可以帮助咱们从有限的、不完全的数据中，找到这些因素与电力消费量之间的关系。

总结一下，GM（1，n）模型是灰色预测的一种扩展，它适用于数据量不大、信息不完全但又受多种因素影响的预测场景。通过对不完全信息的把握和挖掘，GM（1，n）模型能够帮助我们在复杂多变的实际问题中，找到规律，进行相对准确的预测。

定义与详解

灰色预测模型GM(1,n)被广泛应用于对多元变量的预测。这个模型通过灰色关联度来度量因素之间的影响关系。

给定一个多元时间序列数据集

其中，为第 k 个变量向量, k=1,2, ..., n。我们先生成累加序列

其中，

模型的微分方程为

通过最小二乘法求解模型参数。

然后，求解得到的微分方程，生成预测序列

预测序列 可以由以下公式得到:

最后，通过将累加生成序列反演，即求差分，得到原始预测序列

对于这种多变量的情况来说，GM(1,n)模型对于具有线性关系的多元序列具有较好的预测性能，但是当序列之间存在非线性关系时，模型的预测性能可能会下降。因此，灰色预测模型GM(1,n)更适用于短期预测，对于长期预测，需要其他更加合适的模型。

代码

import numpy as np
import math as mt
import matplotlib.pyplot as plt

# 累加生成函数
def generate_AGO(m):
    return np.cumsum(m).tolist()

# 紧邻均值生成函数
def generate_Z(m):
    return [(m[j]+m[j-1])/2 for j in range(1,len(m))]

# 初始化原始数据和相关因素序列
orig_data = [560823,542386,604834,591248,583031,640636,575688,689637,570790,519574,614677]
factor_seq = [[104,101.8,105.8,111.5,115.97,120.03,113.3,116.4,105.1,83.4,73.3],
               [135.6,140.2,140.1,146.9,144,143,133.3,135.7,125.8,98.5,99.8],
               [131.6,135.5,142.6,143.2,142.2,138.4,138.4,135,122.5,87.2,96.5],
               [54.2,54.9,54.8,56.3,54.5,54.6,54.9,54.8,49.3,41.5,48.9]]

# 生成累加序列和B矩阵
B = np.array(generate_Z(generate_AGO(orig_data))).reshape(-1, 1)
Xi = np.array([generate_AGO(x)[1:] for x in factor_seq]).T

# 构建B矩阵和Y向量
B = np.hstack((-B, Xi))
Y = np.mat(orig_data)[0, 1:].T

# 求解参数
params = np.linalg.inv(B.T.dot(B)).dot(B.T).dot(Y)
al, b = float(params[0]), np.array(params[1:]).flatten().tolist()

# 构建驱动值
# 见数模百科

# 计算预测并生成预测模型
F = [(orig_data[0] - U[i-1] / al) / (mt.exp(al * i)) + U[i-1] / al for i in range(len(U))]

# 还原生成预测数据
F.insert(0, orig_data[0])
predicted_data = [F[i] - F[i - 1] for i in range(1, len(F))]
predicted_data.insert(0, orig_data[0])

# 展示预测结果
plt.plot(orig_data, 'r--', label='原始数据')
plt.plot(predicted_data, 'b--', label='预测数据')
plt.legend(loc='upper right')
plt.show()

这段代码实现了灰色预测模型GM（1,n)，并对预测结果进行了可视化，具体步骤如下：

1. 根据初始数据，包括原始数据序列和相关序列，生成AGO（累加生成）序列。

2. 对AGO序列进行紧邻均值生成计算，形成均值矩阵Z。

3. 对相应的AGO序列和均值矩阵Z构建估值矩阵B和实际值向量Y。

4. 利用最小二乘法求解参数向量theat，其中包含发展系数和驱动序列。

5. 根据获得的参数计算预测序列，包括首先构造驱动值，然后基于这些驱动值和参数构造预测模型。

6. 将预测序列通过累减还原操作转化为预测数据。

7. 利用matplotlib库对原始数据和预测数据进行可视化展示，以便直观比较预测结果和实际情况。

通过这个程序，我们可以基于一组数据及其相关因素进行预测，然后用预测结果来进行未来趋势的判断或者进行决策。

优缺点

优点：

1. 灰色预测模型GM(1,n)相对于GM(0,1)模型更能适应多因素问题，对复杂数据的预测和分析更为准确。

2. 模型参数较少，计算复杂度低，易于理解和实施。

缺点：

1. 对于数据波动较大、周期较长的问题，预测精度仍然有限。

2. GM(1,n)模型仍然假设因素之间无显著关联，不适用于存在复杂关系的问题。

3. 预测结果受初始值和参数设置的影响，敏感性较大。可能需要对参数进行合理的调整和校准，以提高预测精度。

本篇文章摘录自 数模百科 —— GM（1，n）模型

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