【题解】P2622 关灯问题II

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题目

原题链接

关灯问题II

题目描述

现有 $n$ 盏灯，以及 $m$ 个按钮。每个按钮可以同时控制这 $n$ 盏灯——按下了第 $i$ 个按钮，对于所有的灯都有一个效果。按下 $i$ 按钮对于第 $j$ 盏灯，是下面 $3$ 中效果之一：如果 $a_{i,j}$ 为 $1$，那么当这盏灯开了的时候，把它关上，否则不管；如果为 $-1$ 的话，如果这盏灯是关的，那么把它打开，否则也不管；如果是 $0$，无论这灯是否开，都不管。

现在这些灯都是开的，给出所有开关对所有灯的控制效果，求问最少要按几下按钮才能全部关掉。

输入格式

前两行两个数，$n,m$。

接下来 $m$ 行，每行 $n$ 个数 $,a_{i,j}$ 表示第 $i$ 个开关对第 $j$ 个灯的效果。

输出格式

一个整数，表示最少按按钮次数。如果没有任何办法使其全部关闭，输出 $-1$。

样例 #1

样例输入 #1

3
2
1 0 1
-1 1 0

样例输出 #1

2

提示

数据范围及约定

• 对于 $20\%$ 数据，输出无解可以得分。
• 对于 $20\%$ 数据，$n\le 5$。
• 对于 $20\%$ 数据，$m\le 20$。

上面的数据点可能会重叠。

对于 $100\%$ 数据 $n\le 10,m\le 100$。

解题思路

分析

注意到 $n\le 10$，考虑用状态压缩。

所以我们用一个 $01$ 串来表示灯的开关状态，$1$ 表示开，$0$ 表示关。

考虑状压DP：
对于状态 $f[i]$，可转移至 $f[j]$，$j$ 为 $i$ 按下第 $k$ 个开关后变得。
但是 $j$ 和 $i$ 的大小并不确定，无法保证DP条件中的无后效性。
所以不能用状压DP。

注意到 $m\le 100$。
考虑用宽搜，存的状态为当前灯的状态。
然后暴力枚举当前状态按下第几个开关后的状态。
即本题正解了，时间复杂度：$O(2^{n}m)$

其中，按下每个开关，对于其对第 $j$ 个灯的控制：

如果为 $1$，那按完后这个灯一定关着。
如果为 $-1$，那按完后这个灯一定开着。
如果为 $0$，不变即可。

注意标记已经搜过的。

Code

#include
#define int long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(NULL),cout.tie(NULL);
using namespace std;
const int N=1<<10;
int vis[N],n,m,a[N][N>>5]; 
signed main()
{
	IOS;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			cin>>a[i][j];
	fill(vis,vis+N,-1);
	queue<int>Q;
	vis[(1<<n)-1]=0;
	Q.push((1<<n)-1);
	while(!Q.empty())
	{
		int x=Q.front(),y;
		Q.pop();
		if(x==0)
			cout<<vis[x],exit(0);
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			y=x;
			for(int j=1;j<=n;j++)
			{
				if(a[i][j]==1)
					y&=(~(1<<(j-1)));
				if(a[i][j]==-1)
					y|=(1<<(j-1));
			}
			if(vis[y]==-1)
			{
				Q.push(y);
				vis[y]=vis[x]+1;
			}
		}
	}
	cout<<-1;
	return 0;
}

更多方法

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