极限存在、连续、可导、可微和可积之间关系-----专升本

结论(一元函数范畴内)

  1. 可导与连续的关系:可导必连续,连续不一定可导;
  2. 可微与连续的关系:可微与可导是一样的;
  3. 可积与连续的关系:可积不一定连续,连续必定可积;
  4. 可导与可积的关系:可导一般可积,可积推不出一定可导;

①极限定义:

极限存在、连续、可导、可微和可积之间关系-----专升本_第1张图片
②连续的定义:
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③可微的定义:
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④可积的定义:
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⑤可积与连续的关系有重要的联系:
(函数不连续的点叫做间断点)
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⑥可导与连续的关系:可导必连续
极限存在、连续、可导、可微和可积之间关系-----专升本_第7张图片
连续并不一定可导:
极限存在、连续、可导、可微和可积之间关系-----专升本_第8张图片
⑦可微与可导之间的关系:

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⑧可积与连续的关系:
极限存在、连续、可导、可微和可积之间关系-----专升本_第11张图片
这个定理说明,不连续的函数有有限个间断点的函数 也可以是可积的
所以:连续一定可积,但是可积却不一定连续;
⑨可导与可积的关系:
因为可导必定是连续的,而连续的一定可积,所以可导就一般可积(虽然可积规定要在闭区间里,但是在高等数学范围内还是可以这样认为的),可积却不一定推出可导,因为可积还有可能不连续,不连续一般是不可导的。
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极限存在、连续、可导、可微和可积之间关系-----专升本_第14张图片极限存在、连续、可导、可微和可积之间关系-----专升本_第15张图片

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