数论-寒假

A - 2023

题意：

在一个乘积等于 2023的序列 a中，k数字被删除，留下一个长度$n$为的序列$b$。给定生成的序列，找到任何合适的序列并输出从中删除的k个元素，或者输出不存在。

题解：

设删除后该序列的乘积为$ans$，如果存在则$2023$%ans一定等于$0$，且删除的k个元素可为$1$，$1$，$1$，…$2023/ans$。

代码：

#include
#include
#define int long long

using namespace std;

void solve(){
	int n,m;
	int sum=1;
	cin>>n>>m;
	for(int i=0;i<n;i++){
		int temp;
		
		cin>>temp;
		
		sum*=temp;
	}
	if(2023%sum) cout<<"NO"<<endl;
	else{
		cout<<"YES"<<endl;
		for(int i=0;i<m-1;i++) cout<<"1"<<" ";
		cout<<(2023/sum)<<endl;
	}
}
signed main(){
	int t;
	
	cin>>t;
	
	while(t--) solve();
	
	return 0;
}

---

B - Make Almost Equal With Mod

题意：

给出一个数组，存在k，使得数组中每个元素都对k取余后，数组中只存在两个数字，输出满足的一个k。

题解：

若数组中既有偶数又有奇数，则k可取2，当 数组只有偶数或者只有奇数，数组每个元素都除以$2^t$后，数组就会同时存在奇数和偶数，所以k为2的次方。

代码：

#include
#include
#include
#define int long long
using namespace std;

const int  N=110;
int a[N];
void solve(){
	set<int> se;
	
	int n;
	
	cin>>n;
	
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	
	int i=1;
	while(1){
			se.clear();
			for(int j=1;j<=n;j++) se.insert(a[j]%i);
			if(se.size()==2){
				cout<<i<<endl;
				return;
			}
		i*=2;
	}
}
signed main(){
	int t;
	
	cin>>t;
	
	while(t--) solve();
	
	return 0;
}

---

C - Insert and Equalize

题意：

给定一个数组，你需要在数组后面再添加一个元素$k$，然后选定一个$x$，每次操作选中一个元素加上$x$，问最少需要多少次操作，可使数组每个元素都相等。

题解：

对数组排序，所有相邻元素之间差值的最大公约数就是$x$，然后计算出最后操作后数组的总和，减去初始数组的和，两个差值除以x就是答案。

代码：

#include
#include
#define int long long

using namespace std;

const int N=2e5+10;
int a[N];
int gcd(int a,int b){
	return b > 0 ? gcd(b , a % b) : a;
}
void solve(){
	int n;
	int sum=0;
	cin>>n;
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		sum+=a[i];
	}
	if(n==1){
		cout<<"1"<<endl;
		return;
	}
	sort(a+1,a+1+n);
	
	int x=a[2]-a[1];
	
	for(int i=3;i<=n;i++) x=gcd(x,a[i]-a[i-1]);
	
	for(int i=n;i>=1;i--){
		if(a[i]-a[i-1]!=x){
			sum+=a[i]-x;
			break;
		}
	}
	cout<<(a[n]*(n+1)-sum)/x<<endl;
}
signed main(){
	int t;
	
	cin>>t;
	
	while(t--) solve();
	
	return 0;
}

---

D - Ace Arbiter

题意:

Alice和Bob两人打乒乓球十一分制,首先Alice先发两次球，然后Bob发两次球,依次进行，每次发球都会有人得一分，谁发球谁的比分就会在前面,给你按时间顺序的比分,让你判断比分从第几个开始出现错误。

题解：

可通过两人得分的和判断此时进行到第几局，由此可将比分顺序纠正把Alice的比分始终放在前面，然后判断是否合法。

代码：

#include
#include

using namespace std;

const int N=110;
int a[N],b[N];
int main(){
	int n;
	char t;
	int temp=0;
	
	cin>>n;
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i]>>t>>b[i];
		if((a[i]+b[i])%4==1||(a[i]+b[i])%4==2) swap(a[i],b[i]);
		
	}	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(a[i]==11&&b[i]==11){
			cout<<"error "<<i<<endl;
			return 0;
		}
		if(a[i]<a[i-1]||b[i]<b[i-1]){
			cout<<"error "<<i<<endl;
			return 0;
		}
		if(temp&&(a[i]>a[i-1]||b[i]>b[i-1])){
			cout<<"error "<<i<<endl;
			return 0;
		}
		if(a[i]==11||b[i]==11) temp=1;
	}
	cout<<"ok"<<endl;
	
	return 0;
}

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E - Divide and Equalize

题意：

给出一个数组，每次操作你需要选中数组中的两个元素，一个乘以$k$，另一个除以$k$，问经过有限次操作，是否可以使得数组所有元素都相等。

题解：

每次操作，一个数除以$k$，则该数字少一个因数$k$，同时另一个元素乘以$k$，则该数字多一个因数$k$，总的因数个数不变，因为所有操作完成后，所有元素都相等，所以所有因数个数都可以分给n个元素。

代码：

#include
#include
#include
#define int long long

using namespace std;

void solve(){
	int n;
	map<int,int> mp;
	
	cin>>n;
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int temp;
		
		cin>>temp;
		
		for(int j=2;j<=temp/j;j++){
			while(temp%j==0){
				mp[j]++;
				temp/=j;
			}
		}
		mp[temp]++;
	}
	for(auto t:mp){
		if(t.first<=1) continue; 
		if(t.second%n){
			cout<<"NO"<<endl;
			return;
		}
	}
	cout<<"YES"<<endl;
}
signed main(){
	int t;
	
	cin>>t;
	
	while(t--) solve();
	
	return 0;
}