排序算法之归并排序

1、归并排序的基本思想

归并排序主要是二路归并排序。二路归并排序的基本思想，设数组a中存放了n个数据元素，初始时把它们看成是n个长度为1的有序子数组，然后从第一个有序子数组开始，把相邻的有序子数组两两合并，等到n/2个长度为2的新的有序子数组(当n为奇数时，最后一个新的有序子数组的长度为1)。对这些新的有序子数组再进行两两合并。如此重复直到得到一个长度为n的有序数组为止。
如下如所示是序列{72,73,71,23,94,16,5,68,64}的二路归并排序过程。

一次二路归并排序算法的目标是把若干个长度为k的相邻有序子数组从前向后进行两两归并，得到个数减半的长度为2k的相邻有序子数组。需要考虑的问题是：若元素个数是2k的整数倍，则两两归并正好完成n个数据元素的一次二路归并；若元素个数不是2k的整数倍，则当归并到最后一组时，剩余的元素个数会不足2k个，这时的处理方法有是:

1. 若剩余的元素个数大于k而小于2k，则把前k个元素作为一个子数组，把剩余的元素作为最后一个子数组。
2. 若剩余的元素个数小于k时，也就是剩余的元素个数只够一组时，则不用再进行两两归并排序。

2、归并排序的代码实现

/**
 *
 * @param a 目标序列
 * @param n  目标序列的长度
 * @param swap 一次二路归并排序后的有序子数组存于此数组中
 * @param k 有序子数组的长度
 */
void Merge(int a[], int n, int swap[], int k) {
    int m = 0, i, j, start2, end1, end2;
    int start1 = 0;//第一个有序子数组的下界为0
    while (start1 + k <= n - 1) {
        start2 = start1 + k;//计算第二个有序子数组的下界
        end1 = start2 - 1;//计算第一个有序子数组的上界
        end2 = (start2 + k - 1 <= n - 1) ? start2 + k - 1 : n - 1;//计算第二个有序子数组的上界
        //两个有序子数组合并
        for (i = start1, j = start2; i < end1 && j < end2; m++) {
            if (a[i] <= a[j]) {
                swap[m] = a[I];
                I++;
            } else {
                swap[m] = a[j];
                j++;
            }
        }
        //子数组2已经归并完成，将子数组1中剩余的元素存放到数组swap中
        while (i <= end1) {
            swap[m] = a[I];
            m++;
            I++;
        }
        //子数组1已经归并完成，将子数组2中剩余的元素存放到数组swap中
        while (j <= end2) {
            swap[m] = a[j];
            m++;
            j++;
        }
        start1 = end2 + 1;
    }
    //将原始数组中只够一组的数据元素顺序存放到数组swap中
    for (int k = start1; k < n; ++k, m++) {
        swap[m] = a[k];
    }
}

void MergeSort(int a[], int n) {
    int k = 1;
    int *swap;
    swap = (int *) malloc(sizeof(int) * n);//申请动态数组空间
    while (k < n) {
        Merge(a, n, swap, k);
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            a[j] = swap[j];//将元素从临时数组中放回到数组a中
        }
        k = 2 * k;//归并长度加倍
    }
    free(swap);
}

3、归并排序的效率分析

1. 对n个数据元素进行一次二路归并排序时，归并的次数约为，任何一次的二路归并排序元素的比较次数都约为n-1，所以二路归并排序算法的时间复杂度为。
2. 二路归并排序时使用了n个临时内存单元存放数据元素，所以二路归并排序算法的空间复杂度为。
3. 由于二路归并排序算法是相邻子数组两两合并，对于相同的书元素，能够保证原来在前边的元素排序后任在前边，因此二路归并排序算法是一种稳定的排序算法。