【数据结构】二叉树-堆（top-k问题，堆排序，时间复杂度）

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目录

堆排序

第一种

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第二种

 TOP-K问题

建堆的时间复杂度

向下调整建堆的时间复杂度：

 向上调整建堆的时间复杂度：

 补充

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   前言

     hello! 各位铁子们大家好哇。

             今日更新了堆排序，top-k问题和时间复杂度的内容
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堆排序

第一种

 

假如左右子树都是小堆，我们只需要进行向下调整建堆即可。

下方是建大堆： 

 

思路分析：这里的向上和向下调整都是建大堆的。如果我们想进行升序排序，我们就得先建大堆。因为小堆的同一层中，无法进行比较。 接着，交换根结点和最后一个结点，这时就已经将最大的数排在末尾了。然后再从根结点向下调整建大堆，这时第二大的数就排在了根结点，再swap进行交换。end--表示不再对已排好的数进行操作。如此循环，即可进行升序。

总结：如果是升序，就要建大堆。如果是降序，就要建小堆。 堆排序的本质是选择排序。

        建堆的时间复杂度：N*logN

        选数的时间复杂度：(N-1)*logN

第二种

当左右子树不一定都是小堆时，我们就要进行从下往上的向下调整建堆。

方法：从倒数第一个非叶子开始（即最后一个节点的父亲）。9，2，8，5不用调，我们从1开始，1和9满足小堆。接着往前一位数到2，此时也满足小堆。继续往前到6，1和5比，1更小，所以1和6交换。接着来到4，交换后的1和2，1更小，4就和1交换

此方法的时间复杂度是O(N)，并且此方式只需要一个向下调整，不需要多写一个向上调整函数。

 

建小堆时，我们就会得到降序的数据。 

 

 TOP-K问题

TOP-K问题:即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如:专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是:如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下:
1.用数据集合中前K个元素来建堆

• 前k个最大的元素，则建小堆
• 前k个最小的元素，则建大堆

2.用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素
将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

举例如下：

   

我们先生成一千万个随机数。

topk函数如下：

void PrintTopK(const char* file, int k)
{
	FILE* fout = fopen(file, "r");
	if (fout == NULL)
	{
		perror("fopen fail");
		return;
	}
	//建一个k个数的小堆
	int* minheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
	if (minheap == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return;
	}

	//读取前k个,建小堆
	for (int i = 0; i < k;i++)
	{
		fscanf(fout, "%d", &minheap[i]);
		AdjustUp(minheap, i);
	}

	int x = 0;
	while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF)
	{
		if (x > minheap[0])
		{
			minheap[0] = x;
			AdjustDown(minheap, k, 0);
		}
	}

	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		printf("%d ", minheap[i]);
	}
	printf("\n");

	fclose(fout);
}

 我们先建立k个数的小堆，并将前k个数放进去。接着从第k+1开始的数开始与根结点比较，如果大于，就替换，然后进行向下调整，恢复成堆的形式。直到所有的数都比较完，我们就能找出前k个最大或最小的数了。

最后的运行结果如下：

  

建堆的时间复杂度

向下调整建堆的时间复杂度：

这里举例向下调整建堆的时间复杂度：

因为第h层是叶，就不需要向下移动了。具体计算过程如下图，因为是等差*等比，所以采用错位相减法进行计算。

因为最后的结果中的h是树的高度，不方便看出时间复杂度，替换成N（节点的个数）

 

最终，时间复杂度是O(N)。

 向上调整建堆的时间复杂度：

 

 

上方是求向上调整建堆时间复杂度的计算过程，原理与向下调整的一样。

最终的时间复杂度是：O(N*logN)

 补充

上方的过程的时间复杂度是O(N*logN)，他跟上方的向上调整建堆相似，都是多*多，少*少的关系。因为最后一层有2^(h-1)个节点，每次交换后，最坏情况要向下调整(h-1)层，即多*多。第1层有一个节点，向下调整0层，即少*少。