拍卖算法理论

拍卖算法本质是模拟人类拍卖的过程，其算法流程就像拍卖一样，未经分配的投标人同时出价投标目标物，从而提高目标物价格，拍卖行获取所有投标人的出价信息，将目标物卖给出价最高的投标人。最终的结果应尽可能保证所有投标人和拍卖行的利益最大化。

拍卖问题按照投标人数N和竞拍商品数M的不同，可以分为以下两种情况：

• N  >  M，投标人数大于商品数，即存在部分投标人落标
• N <= M，投标人数小于等于商品数，即存在部分投标人投中多个标。

当N = M时，该情况被称为完全分配。

当每个投标人最多中标一件商品时，该情况被称为单分配。

当每个投标人可以中标多件商品时，该情况被称为多分配。

如果把我方无人机看作投标人，敌方无人机看作竞拍商品，则这是一个单分配问题。（不过如果考虑到不可能同时有多人拍下同一件商品，则可以将敌方无人机看作投标人，我方无人机看作竞拍商品，一台敌方无人机可以分配给多台我方无人机，即对应每个投标人可以中标多件商品，成为多分配）

论文链接：P-1653-17168586.pdf (mit.edu)

首先学习单分配问题，即每个投标人最多只能拍下一件商品，每件商品必须被拍卖。

求解目标：寻找一种商品分配方案，使得投标人的利益最大。（或考虑投标人和商家的综合收益最大）

假设现在有N个投标人，M个商品，则：

当分配方案为S时，投标人总收益为：

约束条件：

• 每个投标人最多只能拍下一件商品：
• 每件商品必须被拍卖：

因此优化目标就是：

（如果考虑投标人和商家的综合收益最大，则优化目标是：）

考虑到投标人和商家都期望获得最大的利益，因此不仅投标人之间存在冲突，投标人和商家之间也存在冲突，因为商家希望把商品出售给出价高的投标人，但可能同时出现两个出价一样的投标人，那么商家就需要让投标人进行下一轮报价来确定究竟把商品卖给谁，如果投标人想继续出标这个商品就会报上一个更高的价格，但如果投标人认为没有抬高的必要就会换一个商品进行投标。因此为了体现出投标人的一个投标想法的变化，需要有一个利益方程来计算究竟投标哪一个商品是利益最高的：

这里的b就是现在的竞标价，w是投标人愿意出的价格，两者相减就是投标人的意愿体现。

为了分析投标人下一轮该报出什么样子的价格，提出一个ϵ−松弛互补条件：

其中ϵ是一个大于0的常数，是表示投标人的报价更新幅度的，一般可以选取一个较小的值，反映投标人以一个较小的幅度提高对商品的报价。

对于投标人来说，每一次投标会经历以下三个步骤：

1. 计算本轮报价最大收益：
2. 计算本轮报价次最大收益：
3. 计算下一轮报价：（当投标人已经中标，则不会考虑下一轮报价）

其中，是上一轮竞拍中商品的最高报价，因为现在又多了一个加价环节，则下一轮竞标的时候，商品的价格一定会被现在的价格高，即，具体提高了多少，是要看最大收益和次最大收益之间相差的利润是多少。对于投标人而言，因为最优商品的报价提升意味着利益降低，但次优商品报价未变，利益未变，可以预测到，如果未来一直无法竞标到最优商品，随着其报价的提升，最优选择会逐渐趋近于原次优商品，原次优商品会变得更具有吸引力。

对于商家来说，它考虑的问题是将商品卖给谁，它的原则是将商品卖给出价最高的人。

拍卖算法是在拍卖规则下，购买方通过竞价的方式实现资源配置的一种市场机制算法。在任务分配问题中，无人机要打击的目标即拍卖品，对目标进行拍卖的有人机（或无人机）和参加竞拍的无人机根据收益函数和出价策略实现拍卖过程。这种方式制定交易规则，买方和卖方在规则下交易，求解效率高，并且通常能求得接近最好的解。