【算法1.1】模拟与高精度

1.1.1 高精度

        此类题目往往涉及到极大数（无法用 long long存储），一般需要使用string（或数组）来存储数字，大数的位数等于字符串（或数组）的长度。

        需要模拟手动计算的方式来执行加减乘除，但是有个小窍门：计算的过程中可以先不考虑进位计算，直接将结果填入数组，最后统一进行进位操作。

模板代码： 

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
//compare比较函数：相等返回0，大于返回1，小于返回-1
int compare(string str1,string str2)
{
    if(str1.length()>str2.length()) return 1;
    else if(str1.length()=0;i--)
    {
        temp=str1[i]-'0'+str2[i]-'0'+cf;
        cf=temp/10;
        temp%=10;
        str=char(temp+'0')+str;
    }
    if(cf!=0)  str=char(cf+'0')+str;
    return str;
}
//高精度减法
//只能是两个正数相减，而且要大减小
string sub(string str1,string str2)//高精度减法
{
    string str;
    int tmp=str1.length()-str2.length();
    int cf=0;
    for(int i=str2.length()-1;i>=0;i--)
    {
        if(str1[tmp+i]=0;i--)
    {
        if(str1[i]-cf>='0')
        {
            str=char(str1[i]-cf)+str;
            cf=0;
        }
        else
        {
            str=char(str1[i]-cf+10)+str;
            cf=1;
        }
    }
    str.erase(0,str.find_first_not_of('0'));//去除结果中多余的前导0
    return str;
}
//高精度乘法
//只能是两个正数相乘
string mul(string str1,string str2)
{
    string str;
    int len1=str1.length();
    int len2=str2.length();
    string tempstr;
    for(int i=len2-1;i>=0;i--)
    {
        tempstr="";
        int temp=str2[i]-'0';
        int t=0;
        int cf=0;
        if(temp!=0)
        {
            for(int j=1;j<=len2-1-i;j++)
              tempstr+="0";
            for(int j=len1-1;j>=0;j--)
            {
                t=(temp*(str1[j]-'0')+cf)%10;
                cf=(temp*(str1[j]-'0')+cf)/10;
                tempstr=char(t+'0')+tempstr;
            }
            if(cf!=0) tempstr=char(cf+'0')+tempstr;
        }
        str=add(str,tempstr);
    }
    str.erase(0,str.find_first_not_of('0'));
    return str;
}
//高精度除法
//两个正数相除，商为quotient,余数为residue
//需要高精度减法和乘法
void div(string str1,string str2,string "ient,string &residue)
{
    quotient=residue="";//清空
    if(str2=="0")//判断除数是否为0
    {
        quotient=residue="ERROR";
        return;
    }
    if(str1=="0")//判断被除数是否为0
    {
        quotient=residue="0";
        return;
    }
    int res=compare(str1,str2);
    if(res<0)
    {
        quotient="0";
        residue=str1;
        return;
    }
    else if(res==0)
    {
        quotient="1";
        residue="0";
        return;
    }
    else
    {
        int len1=str1.length();
        int len2=str2.length();
        string tempstr;
        tempstr.append(str1,0,len2-1);
        for(int i=len2-1;i='0';ch--)//试商
            {
                string str,tmp;
                str=str+ch;
                tmp=mul(str2,str);
                if(compare(tmp,tempstr)<=0)//试商成功
                {
                    quotient=quotient+ch;
                    tempstr=sub(tempstr,tmp);
                    break;
                }
            }
        }
        residue=tempstr;
    }
    quotient.erase(0,quotient.find_first_not_of('0'));
    if(quotient.empty()) quotient="0";
}

主要思路：

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例1：A+B Problem

加法逻辑：先执行对位上的加法，如果和大于10，那么给高位的格子加上数字1；全部加完以后，整理最高位格子里面的数字，如果发现大于10，直接向更高位进位。

for(j=1; j<=max(a[0],b[0])+1; j++) {
	c[j]=a[j]+b[j];
	if(c[j]>=10) {
		c[j]%=10;
		a[j+1]++;
	}
}

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例2：A*B Problem 

乘法逻辑：只需要模拟1位数和多位数的乘法即可，将每组结果错位相加，加法逻辑参照例1。但是需要注意的是，如果乘数中有0的情况要单独考虑，因为程序最后清算的时候会将高位0全部去掉。

for(int j=n-1;j>=0;j--)
		{
			mp[index--]+=(s1[j]-'0')*(s2[i]-'0'); 
		}
		for(int k=n+m-1;k>index;k--)
		{
			if(mp[k]>=10){
				mp[k-1]+=mp[k]/10;
				mp[k] = mp[k]%10; 
			}
		}

例3：阶乘之和 

阶乘逻辑：高精乘+高精加。创建两个数组，用一个数组保存当前数的阶乘，运用高精乘逻辑；另一个数组用来保存累计和，运用高精加逻辑。

	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		for(int j=99;j>0;j--)
		{
			s1[j] = s1[j]*i;
		}
		for(int j=99;j>0;j--)
		{
			if(s1[j]>=10)
			{
				s1[j-1] += s1[j]/10;
				s1[j] = s1[j]%10;
			}
		}
		for(int j=99;j>0;j--)
		{
			s2[j] += s1[j];
		}
		for(int j=99;j>0;j--)
		{
			if(s2[j]>=10)
			{
				s2[j-1] += s2[j]/10;
				s2[j] = s2[j]%10;
			}
		}
	}

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