CCF-CSP 202309-2 坐标变换（其二）

题目要求

对于平面直角坐标系上的坐标 $(x,y)$，小 P 定义了如下两种操作：

1. 拉伸 $k$ 倍：横坐标 $x$ 变为 $kx$，纵坐标 $y$ 变为 $ky$；
2. 旋转 $\theta$：将坐标 $(x,y)$ 绕坐标原点 $(0,0)$ 逆时针旋转 $\theta$ 弧度 $(0\le \theta <2\pi )$。易知旋转后的横坐标为 $xcos\theta -ysin\theta$，纵坐标为 $xsin\theta +ycos\theta$。

设定好了包含 $n$ 个操作的序列 $(t_1,t_2,\cdot \cdot \cdot t_n)$ 后，小 P 又定义了如下查询：

• $ijxy$：坐标 $(x,y)$ 经过操作 $t_i,\cdot \cdot \cdot ,t_j(1\le i\le j\le n)$ 后的新坐标。

对于给定的操作序列，试计算 $m$ 个查询的结果。

‍⬛输入格式

从标准输入读入数据。
输入共 $n+m+1$ 行。
输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 $n$ 和 $m$，分别表示操作和初始坐标个数。
接下来 $n$ 行依次输入 $n$ 个操作，每行包含空格分隔的一个整数（操作类型）和一个实数 （$k$ 或 $\theta$），形如 $1k$（表示拉伸 $k$ 倍）或 $2\theta$（表示旋转 $\theta$）。
接下来 $m$ 行依次输入 $m$ 个查询，每行包含空格分隔的四个整数 $i$、$j$、$x$ 和 $y$，含义如前文所述。

‍⬛输出格式

输出到标准输出中。
输出共 $m$ 行，每行包含空格分隔的两个实数，表示对应查询的结果。

‍⬛样例输入

10 5
2 0.59
2 4.956
1 0.997
1 1.364
1 1.242
1 0.82
2 2.824
1 0.716
2 0.178
2 4.094
1 6 -953188 -946637
1 9 969538 848081
4 7 -114758 522223
1 9 -535079 601597
8 8 159430 -511187

‍⬛样例输出

-1858706.758 -83259.993
-1261428.46 201113.678
-75099.123 -738950.159
-119179.897 -789457.532
114151.88 -366009.892

‍⬛样例说明

第五个查询仅对输入坐标使用了操作八：拉伸 $0.716$ 倍。
横坐标：$159430\times 0.716=114151.88$
纵坐标：$-511187\times 0.716=-366009.892$
由于具体计算方式不同，程序输出结果可能与真实值有微小差异，样例输出仅保留了三位小数。

‍⬛评测用例规模与约定

80% 的测试数据满足：$n,m\le 1000$
全部的测试数据满足：

• $n,m\le 100000$；
• 输入的坐标均为整数且绝对值不超过 $1000000$；
• 单个拉伸操作的系数 $k\in [0.5,2]$；
• 任意操作区间 $t_i,\cdot \cdot \cdot ,t_j(1\le i\le j\le n)$ 内拉伸系数 $k$ 的乘积在 $[0.001,1000]$ 范围内。

‍⬛评分方式

如果你输出的浮点数与参考结果相比，满足绝对误差不大于 $0.1$，则该测试点满分，否则不得分。

‍⬛提示

• C/C++：建议使用 double 类型存储浮点数，并使用 scanf("%lf", &x); 进行输入，printf("%f", x); 输出，也可以使用 cin 和 cout 输入输出浮点数；#include 后可使用三角函数 cos() 和 sin()。
• Python：直接使用 print(x) 即可输出浮点数 x；from math import cos, sin 后可使用相应三角函数。
• Java：建议使用 double 类型存储浮点数，可以使用 System.out.print(x); 进行输出；可使用 Math.cos() 和 Math.sin() 调用三角函数。

问题解决

80分代码（含逐行代码解释）

因为尝试不使用STL库，所以进行了两层循环导致时间复杂度变高从而运行超时只有80分，若使用STL库则可轻易达到满分，网上可以查到很多满分解答。

C++

#include
using namespace std;

struct operation{
	//定义操作结构体 
	int type; //操作种类k或θ 
	double value; //对应的数值 
}op[1000001];

struct coordinate{
	//定义坐标结构体
	int i; //操作起始
	int j; //操作终止
	double x; //横坐标 
	double y; //纵坐标 
}coor[1000001];

int main(){
	int n, m;
	cin >> n >> m; //输入操作和查询个数
	for(int t = 1; t <= n; t++)
	{
		cin >> op[t].type >> op[t].value; //输入操作编号以及对应的数值k或者θ 
	}
	for(int t = 1; t <= m; t++){
		cin >> coor[t].i >> coor[t].j >> coor[t].x >> coor[t].y; //输入操作范围以及坐标 
	}
	double xx, yy; //用来存储横纵坐标的中间变量，注意是双精度类型 
	for(int t = 1; t <= m; t++){ //大循环表示遍历m个坐标
		for(int p = coor[t].i; p <= coor[t].j; p++){ //小循环表示对每个坐标进行p个变换操作 
			if(op[p].type == 1){ //1对应的是k，直接乘积即可 
				xx = coor[t].x * op[p].value;
				yy = coor[t].y * op[p].value;
			}
			else if(op[p].type == 2){ //2对应的是θ，采用题目中的公式 
				xx = coor[t].x * cos(op[p].value) - coor[t].y * sin(op[p].value);
				yy = coor[t].x * sin(op[p].value) + coor[t].y * cos(op[p].value);
			}
			coor[t].x = xx; //更新横坐标变换后的结果 
			coor[t].y = yy; //更新纵坐标变换后的结果
		}
		cout << fixed << setprecision(3) << xx << " " << yy << "\n";
		//等价于 printf("%.3f %.3f\n", coor[t].x, coor[t].y);
	}
}

Python

#代码逻辑与C++完全一样，不再一一赘述
import math

class Operation:
    def __init__(self, type_, value):
        self.type = type_
        self.value = value

class Coordinate:
    def __init__(self, i, j, x, y):
        self.i = i
        self.j = j
        self.x = x
        self.y = y

n, m = map(int, input().split())
op = [None] * (n + 1)
for t in range(1, n + 1):
    type_, value = map(float, input().split())
    op[t] = Operation(int(type_), value)

coor = [None] * (m + 1)
for t in range(1, m + 1):
    i, j, x, y = map(float, input().split())
    coor[t] = Coordinate(int(i), int(j), x, y)

for t in range(1, m + 1):
    for p in range(coor[t].i, coor[t].j + 1):
        if op[p].type == 1:
            xx = coor[t].x * op[p].value
            yy = coor[t].y * op[p].value
        elif op[p].type == 2:
            xx = coor[t].x * math.cos(op[p].value) - coor[t].y * math.sin(op[p].value)
            yy = coor[t].x * math.sin(op[p].value) + coor[t].y * math.cos(op[p].value)
        coor[t].x = xx
        coor[t].y = yy
    print('{:.3f} {:.3f}'.format(xx, yy))

场景拓展

本题是对上一道题的一个进阶和补充，主要目的在于坐标变换，它可以根据给定的操作类型和数值对坐标进行变换。主要应用场景包括但不限于：

• 图形变换：可以通过修改操作类型和数值来实现平移、旋转、缩放等图形变换操作。
• 数据分析与可视化：在数据分析和可视化领域，经常需要对数据进行坐标变换，以便更好地理解和展示数据。
• 物体运动模拟：在物理模拟和游戏开发中，需要对物体进行坐标变换，以模拟物体的运动轨迹和行为。