【算法专题】动态规划之回文子串问题

动态规划6.0

  • 动态规划 - - - 回文子串问题
    • 1. 回文子串
    • 2. 最长回文子串
    • 3. 分割回文串Ⅳ
    • 4. 分割回文串Ⅱ
    • 5. 最长回文子序列
    • 6. 让字符串成为回文串的最少插入次数

动态规划 - - - 回文子串问题

1. 回文子串

题目链接 -> Leetcode -647.回文子串

Leetcode -647.回文子串

题目:给你一个字符串 s ,请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。
回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。
子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。
具有不同开始位置或结束位置的子串,即使是由相同的字符组成,也会被视作不同的子串。

示例 1:
输入:s = “abc”
输出:3
解释:三个回文子串 : “a”, “b”, “c”

示例 2:
输入:s = “aaa”
输出:6
解释:6个回文子串 : “a”, “a”, “a”, “aa”, “aa”, “aaa”

提示:

  • 1 <= s.length <= 1000
  • s 由小写英文字母组成

思路:我们可以先预处理一下,将所有子串「是否回文」的信息统计在 dp 表里面,然后直接在表里面统计 true 的个数即可;

  1. 状态表示:为了能表示出来所有的子串,我们可以创建⼀个 n * n 的二维 dp 表,只用到「上三角部分」即可。所以状态表示:
  • dp[i][j] 表示: s 字符串 [i, j] 的子串,是否是回文串.
  1. 状态转移方程:对于回文串,我们一般分析一个「区间两头」的元素:
  • 当 s[i] != s[j] 的时候:不可能是回文串, dp[i][j] = false;
  • 当 s[i] == s[j] 的时候:根据长度分三种情况讨论:
    长度为 1 ,也就是 i == j :此时一定是回文串, dp[i][j] = true ;
    长度为 2 ,也就是 i + 1 == j :此时也一定是回文串, dp[i][j] = true ;
    长度大于 2 ,此时要去看看 [i + 1, j - 1] 区间的子串是否回文: dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] 。

综上,状态转移方程分情况谈论即可;

  1. 返回值:根据「状态表示和题目要求」,我们需要返回 dp 表中 true 的个数。

代码如下:

		class Solution {
		public:
		    int countSubstrings(string s) 
		    {
		        int n = s.size();
		        vector> dp(n, vector(n));
		        
		        //  dp[i][j] 表示: s 字符串 [i, j] 的子串,是否是回文串
		        int ans = 0;
		        for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
		        {
		            for(int j = i; j < n; j++)
		            {
		                if(s[i] == s[j])
		                {
		                    if(i == j) dp[i][j] = true; // 一个字符也是回文串
		                    else if(i + 1 == j) dp[i][j] = true; // 两个字符
		                    else dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1]; // 大于两个字符就判断减去这两个字符之后是否还是回文串
		                }
		                
		                if(dp[i][j]) ans++;
		            }
		        }
		        return ans;
		    }
		};

2. 最长回文子串

题目链接 -> Leetcode -5.最长回文子串

Leetcode -5.最长回文子串

题目:给你一个字符串 s,找到 s 中最长的回文子串。

如果字符串的反序与原始字符串相同,则该字符串称为回文字符串。

示例 1:
输入:s = “babad”
输出:“bab”
解释:“aba” 同样是符合题意的答案。

示例 2:
输入:s = “cbbd”
输出:“bb”

提示:

  • 1 <= s.length <= 1000
  • s 仅由数字和英文字母组成

思路:思路与上题思路类似,我们可以先用 dp 表统计出「所有子串是否回文」的信息;然后根据 dp 表示 true 的位置,得到回文串的「起始位置」和「长度」。那么我们就可以在表中找出最长回文串。

代码如下:

		class Solution {
		public:
		    string longestPalindrome(string s) 
		    {
		        int n = s.size();
		        vector> dp(n, vector(n));
		
		        int retlen = INT_MIN, begin = 0;
		
		        for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
		        {
		            for(int j = i; j < n; j++)
		            {
		                // 标记回文串的位置
		                if(s[i] == s[j])
		                {
		                    if(i == j) dp[i][j] = true;
		                    else if(i + 1 == j) dp[i][j] = true;
		                    else dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
		                }
		
		                // 如果以 i、j 位置为头和尾组成回文串,那么判断当前回文串的长度和 retlen 的长度,取其中的较大值,并记录长度和头的位置
		                if(dp[i][j] && j - i + 1 > retlen)
		                {
		                    retlen = j - i + 1;
		                    begin = i;
		                }
		            }
		        }
		        return s.substr(begin, retlen);
		    }
		};

3. 分割回文串Ⅳ

题目链接 -> Leetcode -1745.分割回文串Ⅳ

Leetcode -1745.分割回文串Ⅳ

题目:给你一个字符串 s ,如果可以将它分割成三个 非空 回文子字符串,那么返回 true ,否则返回 false 。

当一个字符串正着读和反着读是一模一样的,就称其为 回文字符串 。

示例 1:
输入:s = “abcbdd”
输出:true
解释:“abcbdd” = “a” + “bcb” + “dd”,三个子字符串都是回文的。

示例 2:
输入:s = “bcbddxy”
输出:false
解释:s 没办法被分割成 3 个回文子字符串。

提示:

  • 3 <= s.length <= 2000
  • s​​​​​​ 只包含小写英文字母。

思路:本题思路其实我们可以把它拆成「两个小问题」:

  • 动态规划求解字符串中的一段非空子串是否是回文串;
  • 枚举三个子串除字符串端点外的起止点,查询这三段非空子串是否是回文串;

代码如下:

		class Solution {
		public:
		    bool checkPartitioning(string s) 
		    {
		        int n = s.size();
		        vector> dp(n, vector(n));
		
		        // 动态规划求解字符串中的⼀段⾮空⼦串是否是回⽂串;
		        for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
		        {
		            for(int j = i; j < n; j++)
		            {
		                if(s[i] == s[j])
		                {
		                    if(i == j || i + 1 == j) dp[i][j] = true;
		                    else dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
		                }
		            }
		        }
		
		        // 将dp数组分为三段,枚举三个⼦串除字符串端点外的起⽌点,查询这三段⾮空⼦串是否是回⽂串
		        for(int i = 1; i < n - 1; i++)
		        {
		            for(int j = i; j < n - 1; j++)
		            {
		                if(dp[i][j] && dp[0][i - 1] && dp[j + 1][n - 1]) return true;
		            }
		        }
		
		        return false;
		    }
		};

4. 分割回文串Ⅱ

题目链接 -> Leetcode -132.分割回文串Ⅱ

Leetcode -132.分割回文串Ⅱ

题目:给你一个字符串 s,请你将 s 分割成一些子串,使每个子串都是回文。

返回符合要求的 最少分割次数 。

示例 1:
输入:s = “aab”
输出:1
解释:只需一次分割就可将 s 分割成[“aa”, “b”] 这样两个回文子串。

示例 2:
输入:s = “a”
输出:0

示例 3:
输入:s = “ab”
输出:1

提示:

  • 1 <= s.length <= 2000
  • s 仅由小写英文字母组成

思路:

  1. 状态表示:根据经验,继续尝试用 i 位置为结尾,定义状态表示:
  • dp[i] 表示: s 中 [0, i] 区间上的字符串,最少分割的次数;
  1. 状态转移方程:状态转移方程一般都是根据「最后一个位置」的信息来分析:设 0 <= j <= i ,那么我们可以根据 j ~ i 位置上的子串是否是回文串分成下面两类:
  • 当 [j ,i] 位置上的子串能够构成一个回文串,那么 dp[i] 就等于 [0, j - 1] 区间上最少回文串的个数 + 1,即 dp[i] = dp[j - 1] + 1 ;
  • 当 [j ,i] 位置上的子串不能构成一个回文串,此时 j 位置就不用考虑。

由于我们要的是最小值,因此应该循环遍历一遍 j 的取值,拿到里面的最小值即可;

  1. 返回值:根据「状态表示」,应该返回 dp[n - 1];

代码如下:

		class Solution {
		public:
		    int minCut(string s) 
		    {
		        int n = s.size();
		        vector> isPal(n, vector(n));
		
		        // 1.是否是回文串
		        for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
		        {
		            for(int j = i; j < n; j++)
		            {
		                if(s[i] == s[j])
		                    if(i == j || i + 1 == j) isPal[i][j] = true;
		                    else isPal[i][j] = isPal[i + 1][j - 1];
		            }
		        }
		
		        // dp[i] 表⽰: s 中 [0, i] 区间上的字符串,最少分割的次数
		        vector dp(n, INT_MAX);// 最少分割次数
		        // 2.处理最少分割次数
		        for(int i = 0; i < n; i++)
		        {
		            // 0-i 位置是回文串
		            if(isPal[0][i]) 
		            {
		                dp[i] = 0;
		            }
		
		            // 0-i 位置不是回文串,分割
		            else
		            {
		                for(int j = i; j > 0; j--)
		                    // j - i 位置是回文串
		                    if(isPal[j][i]) 
		                        dp[i] = min(dp[j-1] + 1, dp[i]); // dp[j-1] + 1 就是 [0, j - 1] 区间上最少回⽂串的个数 + 1,+1即加上这次的分割
		            }
		            
		        }
		        return dp[n-1];
		    }
		};

5. 最长回文子序列

题目链接 -> Leetcode -516.最长回文子序列

Leetcode -516.最长回文子序列

题目:给你一个字符串 s ,找出其中最长的回文子序列,并返回该序列的长度。

子序列定义为:不改变剩余字符顺序的情况下,删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

示例 1:
输入:s = “bbbab”
输出:4
解释:一个可能的最长回文子序列为 “bbbb” 。

示例 2:
输入:s = “cbbd”
输出:2
解释:一个可能的最长回文子序列为 “bb” 。

提示:

  • 1 <= s.length <= 1000
  • s 仅由小写英文字母组成

思路:

  1. 状态表示:关于「单个字符串」问题中的「回文子序列」,或者「回文子串」,我们的状态表示研究的对象一般都是选取原字符串中的一段区域 [i, j] 内部的情况。这里我们继续选取字符串中的一段区域来研究:
  • dp[i][j] 表示:s 字符串 [i, j] 区间内的所有的子序列中,最长的回文子序列的长度;
  1. 状态转移方程:关于「回文子序列」和「回文子串」的分析方式,一般都是比较固定的,都是选择这段区域的「左右端点」的字符情况来分析。因为如果一个序列是回文串的话,「去掉首尾两个元素之后依旧是回文串」,「首尾加上两个相同的元素之后也依旧是回文串」。因为,根据「首尾元素」的不同,可以分为下面两种情况:
  • 当首尾两个元素「相同」的时候,也就是 s[i] == s[j] :那么 [i, j] 区间上的最长回文子序列,应该是 [i + 1, j - 1] 区间内的那个最长回文子序列首尾填上 s[i] 和 s[j] ,此时 dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

  • 当首尾两个元素不「相同」的时候,也就是 s[i] != s[j] :此时这两个元素就不能同时添加在⼀个回文串的左右,那么我们就应该让 s[i] 单独加在一个序列的左边,或者让 s[j] 单独放在一个序列的右边,看看这两种情况下的最大值:
    a. 单独加入 s[i] 后的区间在 [i, j - 1] ,此时最长的回文序列的长度就是 dp[i][j - 1] ;
    b. 单独加入 s[j] 后的区间在 [i + 1, j] ,此时最长的回文序列的长度就是 dp[i + 1][j] ;

取两者的最大值,于是 dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]);

综上所述,状态转移方程为:

  • 当 s[i] == s[j] 时: dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2
  • 当 s[i] != s[j] 时: dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j])
  1. 返回值:根据「状态表示」,我们需要返回 [0, n -1] 区域上的最长回文序列的长度,因此需要返回 dp[0][n - 1];

代码如下:

		class Solution {
		public:
		    int longestPalindromeSubseq(string s) 
		    {
		        int n = s.size();
		        vector> dp(n, vector(n));
		
		        // dp[i][j] 表示s字符串[i,j]区间内所有子序列中最长回文子序列的长度
		        for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
		        {
		            for(int j = i; j < n; j++)
		            {
		                if(s[i] == s[j])
		                {
		                    if(i == j) dp[i][j] = 1;
		                    else if(i + 1 == j) dp[i][j] = 2;
		                    else dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
		                }
		                
		                // 如果s[i] != s[j],说明回文子序列一定不能同时以 i 和 j 为结尾
		                else
		                {
		                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
		                }
		            }
		        }
		        return dp[0][n - 1];
		    }
		};

6. 让字符串成为回文串的最少插入次数

题目链接 -> Leetcode -1312.让字符串成为回文串的最少插入次数

Leetcode -1312.让字符串成为回文串的最少插入次数

题目:给你一个字符串 s ,每一次操作你都可以在字符串的任意位置插入任意字符。
请你返回让 s 成为回文串的 最少操作次数 。
「回文串」是正读和反读都相同的字符串。

示例 1:
输入:s = “zzazz”
输出:0
解释:字符串 “zzazz” 已经是回文串了,所以不需要做任何插入操作。

示例 2:
输入:s = “mbadm”
输出:2
解释:字符串可变为 “mbdadbm” 或者 “mdbabdm” 。

示例 3:
输入:s = “leetcode”
输出:5
解释:插入 5 个字符后字符串变为 “leetcodocteel” 。

提示:

  • 1 <= s.length <= 500
  • s 中所有字符都是小写字母。

思路:

  1. 状态表示:dp[i][j] 表示字符串 [i, j] 区域成为回文子串的最少插入次数;
  2. 状态转移方程:关于「回文子序列」和「回文子串」的分析方式,一般都是比较固定的,都是选择这段区域的「左右端点」的字符情况来分析。因为如果一个序列是回文串的话,「去掉首尾两个元素之后依旧是回文串」,「首尾加上两个相同的元素之后也依旧是回文串」。因为,根据「首尾元素」的不同,可以分为下面两种情况:
  • 当首尾两个元素「相同」的时候,也就是 s[i] == s[j] :
    a. 那么 [i, j] 区间内成为回文子串的最少插入次数,取决于 [i + 1, j - 1] 区间内成为回文子串的最少插入次数;
    b. 若 i == j 或 i == j - 1 ( [i + 1, j - 1] 不构成合法区间),此时只有 1 ~ 2 个相同的字符, [i, j] 区间⼀定是回文子串,成为回文子串的最少插入次数是 0;此时 dp[i][j] = i >= j - 1 ? 0 : dp[i + 1][j - 1].
  • 当首尾两个元素「不相同」的时候,也就是 s[i] != s[j] :
    a. 此时可以在区间最右边补上一个 s[i] ,需要的最少插入次数是 [i + 1, j] 成为回文子串的最少插入次数 + 本次插入,即 dp[i][j] = dp[i + 1][j] + 1 ;
    b. 此时可以在区间最左边补上一个 s[j] ,需要的最少插入次数是 [i, j + 1] 成为回文子串的最少插入次数 + 本次插入,即 dp[i][j] = dp[i][j + 1] + 1 ;

综上所述,状态转移方程为:

  • 当 s[i] == s[j] 时: dp[i][j] = i >= j - 1 ? 1 : dp[i + 1][j - 1] ;
  • 当 s[i] != s[j] 时: dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
  1. 返回值:根据「状态表示」,我们需要返回 [0, n -1] 区域上成为回文子串的最少插入次数,因此需要返回 dp[0][n - 1];

代码如下:

		class Solution {
		public:
		    int minInsertions(string s) 
		    {
		        int n = s.size();
		        vector> dp(n, vector(n));
		
		        //  dp[i][j] 表⽰字符串 [i, j] 区域成为回⽂⼦串的最少插⼊次数
		        
		        for(int i = n - 1; i >= 0; i--)
		        {
		            for(int j = i + 1; j < n; j++) 
		            {
		                if(s[i] == s[j]) dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
		
		                else dp[i][j] = min(1 + dp[i + 1][j], 1 + dp[i][j - 1]);
		            }
		        }
		
		        return dp[0][n - 1];
		    }
		};

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