CF1158C Permutation recovery 题解

前置

第一次独立做出来 *2100 的题，肯定是 cf 评分评高了。

题意简述

有一个排列 $p$，定义 $nx{t}_i$ 为 $p_i$ 右侧第一个大于 $p_i$ 的位置。若不存在这样的位置则 $nx{t}_i=n+1$。

现在排列 $p$ 和部分 $nx{t}_i$ 丢失了。你需要构造出一个排列 $p$，满足给出的 $nx{t}_i$ 关系。$nx{t}_i=-1$ 表示 $nx{t}_i$ 丢失（即你可以忽略这个 $nx{t}_i$ 关系）。

若无解，输出 -1。若有多组解，输出任意一组即可。

解题思路

先来考虑什么时候无解。对于一个 $i$，如果存在一个位置 $j$，满足 $i<j<nx{t}_i$ 且 $nx{t}_j>nx{t}_i$，则无解。理解一下，就是说给出的 $nx{t}_i$ 会推出大小关系冲突。

再来考虑构造一个合法的解。我们可以将 $nx{t}_i=-1$ 的 $nx{t}_i$ 全部替换成 $i+1$。这样的替换一定不会导致有解的序列变成无解。然后我们开一个堆存储当前还未选择的数有哪些，并确立 $i$ 和 $nx{t}_i$ 的大小关系，从堆中每次选最大的数填就可以了。可以看代码理解一下。

代码示例

#include
using namespace std;
#define int long long
int t,n,nxt[500010],st[50][500010],ans[500010];
multiset<int> s;
vector<int> G[500010];
void init(){
	s.clear();
	for(int i=1;i<=n;i++) G[i].clear();
	for(int i=1;i<=n;i++) s.insert(i);
	for(int i=1;i<=n;i++) st[0][i]=nxt[i];
	for(int i=1;i<=__lg(n);i++){
		for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++) st[i][j]=max(st[i-1][j],st[i-1][j+(1<<(i-1))]);
	}
}
int query(int l,int r){
	int len=__lg(r-l+1);
	return max(st[len][l],st[len][r-(1<<len)+1]);
}
void solve(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>nxt[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) if(nxt[i]==-1) nxt[i]=i+1;
	init();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(nxt[i]==i+1) continue;
		if(query(i+1,nxt[i]-1)>nxt[i]){
			cout<<-1<<endl;
			return;
		}
	}
    //st表判断无解情况
	for(int i=1;i<=n;i++) G[nxt[i]].push_back(i);
    //确立大小关系
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(nxt[i]==n+1){
			ans[i]=*s.rbegin();
			s.erase(s.find(*s.rbegin()));
		}
	}
    //初始化 nxt_i=n+1 的位置
	for(int i=n;i>=1;i--){
		for(int v:G[i]){
			ans[v]=*s.rbegin();
			s.erase(s.find(*s.rbegin()));	
		}
        //每次找最大的未使用的数填入即可
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) cout<<ans[i]<<" ";
	cout<<endl;
	return;
}
signed main(){
	cin>>t;
	while(t--) solve();
	return 0;
}