算法每日一题： 最大合金数 | 二分

大家好，我是星恒，今天给大家带来的是一道比较正常的二分题目

题目：leetcode 2861
假设你是一家合金制造公司的老板，你的公司使用多种金属来制造合金。现在共有 n 种不同类型的金属可以使用，并且你可以使用 k 台机器来制造合金。每台机器都需要特定数量的每种金属来创建合金。
对于第 i 台机器而言，创建合金需要 composition[i][j] 份 j 类型金属。最初，你拥有 stock[i] 份 i 类型金属，而每购入一份 i 类型金属需要花费 cost[i] 的金钱。
给你整数 n、k、budget，下标从 1 开始的二维数组 composition，两个下标从 1 开始的数组 stock 和 cost，请你在预算不超过 budget 金钱的前提下，最大化 公司制造合金的数量。
所有合金都需要由同一台机器制造。
返回公司可以制造的最大合金数。
示例：
示例 1：

输入：n = 3, k = 2, budget = 15, composition = [[1,1,1],[1,1,10]], stock = [0,0,0], cost = [1,2,3]
输出：2
解释：最优的方法是使用第 1 台机器来制造合金。
要想制造 2 份合金，我们需要购买：
- 2 份第 1 类金属。
- 2 份第 2 类金属。
- 2 份第 3 类金属。
总共需要 2 * 1 + 2 * 2 + 2 * 3 = 12 的金钱，小于等于预算 15 。
注意，我们最开始时候没有任何一类金属，所以必须买齐所有需要的金属。
可以证明在示例条件下最多可以制造 2 份合金。

示例 2：

输入：n = 3, k = 2, budget = 15, composition = [[1,1,1],[1,1,10]], stock = [0,0,100], cost = [1,2,3]
输出：5
解释：最优的方法是使用第 2 台机器来制造合金。 
要想制造 5 份合金，我们需要购买： 
- 5 份第 1 类金属。
- 5 份第 2 类金属。 
- 0 份第 3 类金属。 
总共需要 5 * 1 + 5 * 2 + 0 * 3 = 15 的金钱，小于等于预算 15 。 
可以证明在示例条件下最多可以制造 5 份合金。

示例 3：

输入：n = 2, k = 3, budget = 10, composition = [[2,1],[1,2],[1,1]], stock = [1,1], cost = [5,5]
输出：2
解释：最优的方法是使用第 3 台机器来制造合金。
要想制造 2 份合金，我们需要购买：
- 1 份第 1 类金属。
- 1 份第 2 类金属。
总共需要 1 * 5 + 1 * 5 = 10 的金钱，小于等于预算 10 。
可以证明在示例条件下最多可以制造 2 份合金。

提示：

• 1 <= n, k <= 100
• 0 <= budget <= 108
• composition.length == k
• composition[i].length == n
• 1 <= composition[i][j] <= 100
• stock.length == cost.length == n
• 0 <= stock[i] <= 108
• 1 <= cost[i] <= 100

分析：
这道题的思路是二分。因为制造数的范围是有限的，是10^8， 所以我们可以遍历可以制造数量的最大数，利用二分来优化：遍历使用的机器，当使用这个数量制造金属时，是否会超过预算。这样，我们就可以遍历到需要的金属最大数。

这确实是很优质的解法，我们来看看我们的暴力求解。
乍一看，这道题是让我们选择对机器，然后计算能制造的金属数。对于确定使用的机器，我们并没有什么好方法，我们只能通过遍历比较哪台机器在budget下的制造的数量最多，来侧面反应出哪个机器最多（这也是计算机的擅长的事）。
我们来分析一下他的时间复杂度：遍历每一种机器为n，遍历最大金数数(budget/cost)，计算一份合金所需花费k。总的时间复杂度O(n * (k + budget/cost))

题解：

class Solution {
    public int maxNumberOfAlloys(int n, int k, int budget, List<List<Integer>> composition, List<Integer> stock, List<Integer> cost) {
        int left = 1, right = 200000000, ans = 0;
        while (left <= right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            boolean valid = false;
            for (int i = 0; i < k; ++i) {
                long spend = 0;
                for (int j = 0; j < n; ++j) {
                    spend += Math.max((long) composition.get(i).get(j) * mid - stock.get(j), 0) * cost.get(j);
                }
                if (spend <= budget) {
                    valid = true;
                    break;
                }
            }
            if (valid) {
                ans = mid;
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }
}

时间复杂度：O(nklogC)

如果大家有什么思考和问题，可以在评论区讨论，也可以私信我，很乐意为大家效劳。
好啦，今天的每日一题到这里就结束了，如果大家觉得有用，可以可以给我一个小小的赞呢，我们下期再见！