任意一个函数都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式

定义

张宇30讲明确指出
f(x)+f(-x)必定是偶函数
f(x)-f(-x)必定是奇函数
前提：定义域关于原点对称

由上述结论得到：任意一个函数都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式，即使该函数是非奇非偶的。
f(x) = $\frac{1}{2}$[f(x) + f(-x)] + $\frac{1}{2}$[f(x) - f(-x)]

应用

计算 ${\int }_{-1}^1$$\frac{1}{2^x+1}dx$

分析
看见定义域区间是【-1,1】关于原点对称，此时你是不是很希望出现一个奇函数，利用奇函数性质来解题？？但是你发现这个函数是非奇非偶函数，并没有奇函数。

别急，该函数隐藏的很深，好似犹抱琵琶半遮面，我们要做的就是把他打回原形。虽然是非奇非偶函数，但是根据任意一个函数都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式的性质。我们不妨猜想下，如果将这个函数拆成一个奇函数，一个偶函数。会不会有奇效？？？

解题
利用f(x) = $\frac{1}{2}$[f(x) + f(-x)] + $\frac{1}{2}$[f(x) - f(-x)] 公式，将这个函数拆成一奇一偶。

总结：最好记住！！
$\frac{1}{a^x+1}-\frac{1}{2}$也是奇函数，因为偶函数结果为1*1/2，根据等式，右边是奇，左边也只能为奇！！