[足式机器人]Part3 机构运动学与动力学分析与建模 Ch01-1 刚体系统的运动学约束

本文仅供学习使用，总结很多本现有讲述运动学或动力学书籍后的总结，从矢量的角度进行分析，方法比较传统，但更易理解，并且现有的看似抽象方法，两者本质上并无不同。
2024年底本人学位论文发表后方可摘抄
若有帮助请引用
本文参考：
《空间机构的分析与综合（上册）》-张启先，感谢张启先先生对机构学的卓越贡献，希望下册有见天明之日！
《高等机构学》-白师贤
《高等空间机构学》-黄真
《机构运动微分几何学分析与综合》-王德伦

食用方法
自由度？约束——本质含义是什么？如何表达？
系统的自由度？广义坐标的自由度？
如何表示约束方程？
务必自己计算自由度，了解约束的含义

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1. 广义坐标与约束

1.1 参考坐标

根据上述章节的学习，我们知道：

• 空间中对某一点的表述，需要3个位姿参数（比如点的坐标）——即需要3个约束方程；
• 空间中对某一矢量的表述，需要2个位姿参数（比如球坐标系下的两个角度值）——即需要2个约束方程；
• 空间中对某一直线的表述，需要5个位姿参数（给定点+给定矢量）——即需要5个约束方程；
• 空间中对某一平面的表述，需要4个位姿数（给定矢量+矢量方向上的位置）——即需要4个约束方程；
• 空间中对某一刚体的表述，需要6个位姿参数（给定点+矢量方向+沿矢量方向的转角）——即需要6个约束方程；

这些例子对于我们理解运动副有很大的作用

而对于刚体系统而言，其运动坐标系的参考坐标具体表示，与所选择的表示方法有关：用符号$q_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F$来表示刚体${\Sigma }_{\mathrm{M}}$在坐标系$\left\{F\right\}$下的广义坐标参数。展开可写为：
$$q_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F=\left[\begin{array}{c}{R}_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F\\ {\theta }_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F\end{array}\right]$$
其中：$R_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F$表示体坐标系$\left\{M\right\}$在固定坐标系$\left\{F\right\}$下的位置参数，${\theta }_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F$表示刚体的姿态参数（欧拉角，四元数，罗德里格斯参数等），对于不同的表达方式，$q_{{\Sigma }_{\mathrm{M}}}^F$有不同的维数。

1.2 约束

若一个系统由多个刚体之间的相互作用组成（存在运动副连接），此时该系统中每个单独刚体的运动，都会受到其他部分的影响——确立一组相互独立的广义坐标（即自由度——此时的自由度表示为所需的广义坐标数量，即需要几个自由度才能完整的描述该系统各个构件状态），运动学约束即上述的约束方程，几个约束方程即限制了几个自由度。

对于一个多体系统而言，其广义坐标的数目为$n$，这些刚体之间存在$n_{\mathrm{c}}$个约束方程

若能将约束方程写成如下的矩阵形式：
C ( q ⃗ , t ) = [ C 1 ( q ⃗ , t ) C 2 ( q ⃗ , t ) ⋮ C n c ( q ⃗ , t ) ] = C ( q ⃗ 1 , q ⃗ 2 , ⋯   , q ⃗ n , t ) \boldsymbol{C}\left( \vec{\boldsymbol{q}},t \right) =\left[ \begin{array}{c} C_1\left( \vec{\boldsymbol{q}},t \right)\\ C_2\left( \vec{\boldsymbol{q}},t \right)\\ \vdots\\ C_{\mathrm{n}_{\mathrm{c}}}\left( \vec{\boldsymbol{q}},t \right)\\ \end{array} \right] =\boldsymbol{C}\left( \vec{q}_1,\vec{q}_2,\cdots ,\vec{q}_{\mathrm{n}},t \right) C(q ​,t)= ​C1​(q ​,t)C2​(q ​,t)⋮Cnc​​(q ​,t)​ ​=C(q ​1​,q ​2​,⋯,