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线性代数笔记4.4(二)非齐次线性方程组解的结构

4.4非齐次线性方程组解的结构

导出组

首先

Ax = b是一个非齐次线性方程组，若Ax = 0，则叫这个齐次方程组为导出组

性质

  1. 若a1,a2是Ax = b的解，则a1 - a2 是Ax = 0的解，即非齐次方程组的解相减得到齐次方程组的解
  2. 非齐次线性方程组的解与导出组的解相加以后，还是非齐次方程组的解

线性代数笔记4.4(二)非齐次线性方程组解的结构_第1张图片

非齐次线性方程组解的结构

非齐次线性方程组的解：等于一个Ax = b的一个特解 + Ax = 0的基本线性组合
线性代数笔记4.4(二)非齐次线性方程组解的结构_第2张图片
求非齐次线性方程组的解就转换为:非齐次方程组的特解和Ax = 0的基础解析

求齐次方程组的基础解系

系数矩阵化为行最简形，非零元为1写在等号左边，剩下移项写在右边，带入单位向量得到的结果再与单位向量接长即可

如何求非齐次方程组的特解？

求Ax = b的特解，先拿非齐次线性方程组的增广系数矩阵，只做初等行变换化为行最简形得到相关的方程组。然后自由未知数取0带入求得结果再与0接长就是一个特解 （接长的时候需要考虑顺序!!!）

然后直接写出线性方程组的通解，只需要去掉系数就可以得到解的方程组了，然后按照上一节课讲得做法写出通解再相加就好

具体情况看图更直观
线性代数笔记4.4(二)非齐次线性方程组解的结构_第3张图片
总结

  1. 写出增广系数矩阵只做行变换，化为行简化
  2. 非零行的首非零元的1留在左边，其余挪到右边，写出非齐次线性方程组，指出谁是自由未知量(不在左边都是自由未知量)
  3. 含自由未知量均取0得到一个特解
  4. 另通解方程组右边常数均为0，等齐次方程组的通解，指出谁是自由未知量，带入单位向量，得到线性方程组的基础解系
  5. 非齐次特解+齐次通解
    线性代数笔记4.4(二)非齐次线性方程组解的结构_第4张图片
    考研的一道例题

求通解

首先4元3秩，显然自由未知量只有一个，则导出组只有一个解，而特解可以用α1

用两次性质构造等式就能求出线性组合了
线性代数笔记4.4(二)非齐次线性方程组解的结构_第5张图片
略微修改之后也不难
线性代数笔记4.4(二)非齐次线性方程组解的结构_第6张图片

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