衍生工具的价格敏感指标——希腊字母
看涨期权价格对股价的敏感性被称为δ和γ。
衍生工具的δ价格风险和γ价格风险分别视为类似于债券的久期和凸性。
1.1、Delta的定义
δ，即价格风险：δ衡量了期权价值受基础工具价格小幅变动的影响程度。在期权中，delta（δ或Δ）描述了标的资产价格对于期权价格的一阶（导数）影响，假设Δ=0.4.这意味着当股票价格发生很小的变动时，相应期权的价格变化等于股价变化的40%。d
如何理解这一概念？以欧式看涨期权为例，当S
1.2、Delta的计算
因此，我们可以得到标的资产为支付红利股票的欧式看涨期权，其Δ为：Δc=(C+ - C-)/(S+ - S-)=exp(-qT)N(d1);标的资产为支付红利股票的欧式看跌期权，其Δ为：Δp=( P+ - P-)/(S+ - S-)=exp(-qT)N(-d1)。其中：股票的股息q以连续复利形式表示，若股票不支付股息，则q=0。
若标的股票不支付股息，即q=0，那么看涨期权的Δc=N(d1），即最优对冲比率，即期权到期时处于实值状态的概率；而看跌期权则是Δp=-N(-d1)。因此，看涨期权delta的取值范围也就是N(d1）的取值范围，即[0，1]；而看跌期权的Δp=-N(-d1）=N(d1)-1，其取值范围为[-1，0]。当期权处于平值（at-the-money）状态（S=X）时，则看涨期权和看跌期权的delta分别为0.5和-0.5。
由于delta衡量的是股价变动对于期权价格的影响，那么随着股价的上升，欧式看涨期权的Δc会从0上升至1：深度虚值（S
同样，随着股价的上升，欧式看跌期权的Δp，从-1上升至0：深度虚值（X
当看涨期权临近到期日，如果期权处于虚值，那么期权的斜率即delta趋于0；如果期权处于实值，那么delta趋于1。同样，当看跌期权临近到期日，如果期权处于虚值，那么期权的斜率即delta趋于0；如果期权处于实值，那么delta趋于-1。
1.3、其他金融工具的Delta
（1）对于支付股息的股票、股票指数，以及外汇，当它们作为标的资产时，自身带来的收益率为q。注意，外汇的q即外国无风险利率。因此，这些资产作为标的资产的看涨期权，其delta为：Δcall =(C+ - C-)/(S+ - S-)=exp(-qT)N(d1)；这些资产作为标的资产的看跌期权，其delta为：Δput=( P+ - P-)/(S+ - S-)=exp(-qT)N(-d1)。
（2）股票的delta=1，股票价格变化对自身价格的影响永远为100%。
（3）远期合约的delta=1或exp(-qT)；期货合约的delta=exp(rT)或exp[(r-q)T]。远期合约和期货合约的delta都是在计算Δf=∂F/∂S。
（4）投资组合的delta为各个资产delta的加权平均，公式为：Porfolio delta =∂∏/∂S= Σ wi Δi；其中，wi是指单个资产占整个投资组合的权重。
1.4、Delta对冲
Delta中性投资组合是将标的资产与期权相结合，从而使投资组合的价值不会随标的资产价格的变化而变化。换句话说，delta对冲期权的本质在于，通过用标的资产的头寸来复制期权的相反头寸，从而使投资组合不会随标的资产价格如股票价格的上升或下跌而变化，即Δ=0，保持整个组合delta中性（delta neutral）。
所谓复制，即delta份标的资产的多头头寸相当于1份看涨期权的空头头寸，具体对冲策略为：
（1）看涨期权多头（空头）头寸应使用标的资产的空头（多头）头寸来对冲；
（2）看跌期权多头（空头）头寸应使用标的资产的多头（空头）头寸来对冲。
用于Δ对冲的期权数量则是对冲标的资产股票的数量与期权Δ之间比率的相反数，我们用Ncall代表看涨期权的份数，Nstock代表对冲工具股票的数量，对冲Ncall份看涨期权所需要的股票数量为：
Ncall=-Nstock/Δcall， Nput=-Nstock/Δput。
其中，负号代表对冲头寸的反向关系，即对冲股票头寸需要做空看涨期权，对看跌期权也是同样的道理。当Δ为正，意味着对冲组合是由股票多头头寸与看涨期权空头头寸所构成；当Δ为负，对冲组合则是由股票多头头寸与看跌期权的多头头寸构成。如果将上中分母移项至等号左边，并将所有项全部移到等号的一边，如：Nstock+Ncall×Δcall=0，Nstock+Nput×Δput=0，这就是一个delta中性的对冲组合。
dela对冲与布莱克-斯科尔斯-默顿分析密切相关。通过由股票期权和标的股票建立的无风险交易组合，我们可以推导出布莱克-斯科尔斯-默顿偏微分方程。以Δ表示，所建立的交易组合为：-1：期权，+Δ：股票。
采用新的术语，我们可以将这种方法描述如下：在建立delta中性的头寸后，可以通过论证该交易组合的收益率等于（瞬时）无风险利率来为期权定价。
需要注意的是，delta对冲可分为动态对冲（dynamic-hedging）和静态对冲(static-hedging/hedge-and-forget)。动态对冲是指由于标的资产价值变化较大导致delta中性组合不再“中性”。为了保证对冲的效果，投资组合需要按时进行再平衡。
静态对冲是指无论delta中性组合之后如何，都不再进行再平衡。
例：假设某投资者向我们出售了5000股股票的看跌期权。看涨期权的Δ值为0.482，看跌期权的Δ值为-0.207。每一份股票期权对应一股股票。如果对冲工具是股票，那么需要多少股股票来进行delta对冲？如果对冲工具是看涨期权，那么需要多少份看涨期权来进行Δ对冲？
解析：
已知Δcall=0.482，Δput=-0.207，看跌期权数量为5000股，期权与股票数量1：1。
根据式：Ncall=-Nstock/Δcall， Nput=-Nstock/Δput
（1)如果对冲工具是股票，那么Nstock=-Nput×Δput=-5000× 0.207=-1 035股，注意题目中是出售看跌期权，因此，Δput=-Δshortput=0.207。所以，当对冲工具是股票，投资者需要出售1035股股票。
（2）如果对冲工具是看涨期权，则得到：Nput×Δput= Ncall×Δcall =- 1 035，Ncall=- 1 035/0.482=-2147
所以，当对冲工具是看涨期权，那么投资者需要出售2147份看涨期权。
通过本题可得出一个重要结论：期权的数量总是比股票数量多，因为Δ的绝对值小于等于1。股票数量除以Δ，自然得到的期权数量要大于股票数量。
2.1、Gamma的定义
Gamma（Γ,γ）的数学定义为期权价格对标的资产（股票）价格的二阶偏导数，即delta对于标的资产价格的一阶偏导数。Gamma衡量的是期权价格变化中没有被delta（斜率）解释的部分。γ，即凸性风险：γ衡量了期权的基础工具参考价格变化时期权 δ的变化程度。
假定ΔS为在很短时间区间Δt内股票价格的变化，ΔⅡ为相应的投资组合价格变化。对于delta中性的交易组合，当忽略高阶项后，ΔⅡ= ΘΔt + 1/2·Γ·ΔS²。其中Θ为投资组合的theta。
当gamma为正时，Θ往往是负值。这时如果S没有什么变化，交易组合的价值将会下降。但如果标的资产价格S变化幅度较大，交易组合的价值将会上升；
当gamma为负时，Θ往往为正值，这时会有与上面相反的结论：当标的资产价格S不变时，组合价值上升，而当标的资产价格S变化很大时，组合价值将会下降。当gamma的绝对值增加时，组合价值对于S的敏感性会相应增大。
【例】假定某一标的资产上的期权组合为delta中性，gamma为-10000。如果标的资产价格在较短时间内变化+2或-2，交易组合价值大约下跌：0.5×10000×2²＝20000（美元）。
2.2、Gamma的计算
具有相同特征的看涨和看跌期权，其gamma值是相等的，即：Г=∂²f/∂S²=(Δ+ - Δ-)/(S+ -S-)=exp(-q·T)N(d1)/(S·σ·sqrt(T))。
无股息股票上欧式看涨与看跌期权的gamma由以下关系式给出：Г=N'(d)/(S·σ·sqrt(T))。
多头的gamma总是为正。对于平值期权，gamma随期限的缩短而增大。
短期限平值期权的gamma很高，这意味着这种期权持有者的头寸价值对于股票价格变动是非常敏感的。
按照数学定义，gamma为期权delta的变化与标的资产价格变化之间的比率。更直观地理解，它实际是看涨或看跌期权delta曲线的斜率，也可以说是期权价格函数曲线的弯折程度，即曲率（curvature）。由于两条delta曲线是平行的，并且斜率都为正，所以，看涨或看跌期权的gamma值总是为正值，即Γ(call)=Γ(put)＞0。
【例】考虑一个无股息股票上的看涨期权，其中股票价格为49美元，执行价格为50美元，无风险利率为5%，期权期限为20周（0.3846年），股票价格波动率为20%。这时S=49，K=50，r=0.05，σ=0.2，T=0.3846，期权的gamma为N'(d)/(S·σ·√T)=0.066。当股票价格变化为ΔS时，期权delta的变化为0.066ΔS。
γ越高，期权对持有者越有价值。对于高γ期权，当基础工具价格上升时，δ也会上升，因此期权的价值升幅高于γ中性头寸。相反，当基础工具价格下降时，δ也会下降，期权的价值损失小于γ中性头寸。期权空头的情况相反：高γ头寸持有者面临的风险高于γ中性头寸持有者面临的风险。
当期权处于实值或虚值的情况时，gamma值变得越来越小，在深度实值或深度虚值处甚至趋向于0。当gamma处于期权平值状态（S=X）时，其取值为最大，但取值最大为多少还取决于时间，因此，无法给出确切的最大值范围。
当期权离到期日越远，时间价值变得越大，平值点的曲率变得越小，即gamma越小；随着实值和虚值程度的加深，到期时间越长，曲线的曲率相比更短到期时间的曲率越大，因此，gamma相对就会比较大。
gamma存在的必要性在于：使用delta衡量期权价值时会出现误差，因为delta仅衡量期权价值与股票价格之间的线性关系，然而，期权价值与股票价格之间实际是非线性关系，因而就需要二阶导的gamma。
2.3、Gamma对冲
当BSM模型中价格连续变化的假设不成立，即股票价格发生了突然跳跃式的上升或下跌，打破了股价连续平稳的变动，那么即使是delta中性的投资组合，其价值也不会再等于0，我们称这样的delta 非中性敞口为gamma风险。如果BSM模型的假设都成立，那么我们就不会遭遇gamma风险。
标的资产的gamma总是为0，因此不能用来改变交易组合的gamma。改变交易组合的gamma必须采用价格与标的资产价格呈非线性关系的产品，例如期权。
假如一个delta中性交易组合的gamma为Γ，而一种正在交易的期权的gamma为Γ(T)。如果决定将w(T)数量的期权加入交易组合中，此时交易组合的gamma为w(T)·Γ(T)+Γ。因此要使交易组合为gamma中性，期权头寸应为w(T)=-Γ/Γ(T)。
引入新的期权很可能会改变交易组合的delta，因此必须调整标的资产数量以便保证新的交易组合delta中性。值得注意的是交易组合仅仅在较短时间内能做到gamma中性，随着时间的变化，只有不断调整期权数量以便使w(T)=-Γ/Γ(T)成立，这样才能保证交易组合为gamma中性。
delta中性保证了在对冲再平衡之间交易组合价值不受股票价格微小变化的影响，而gamma中性则保证了在对冲再平衡之间交易组合价值不受股票价格较大变化的影响。
【例】假设某一交易组合为delta中性，而gamma为-3000。某个正在交易的期权的delta和gamma分别为0.62和1.50。在交易组合中加入3 000/1.5=2000份期权会使得此交易组合变成gamma中性。但这时交易组合的delta也从0变成了2000x0.62=1240。因此为保证新的交易组合delta中性，我们必须卖出1240份标的资产。
为了对冲gamma风险，投资者往往构建delta中性且gamma中性的组合头寸，即同时考虑delta和gamma后，该组合价值不受标的资产价格变化的影响。具体分为两个步骤：
第一，利用非线性金融工具（期权和债券）来构建gamma中性头寸；（在这个过程中，投资组合的delta很有可能被改变）
第二，在第一步的基础上利用股票和远期合约等线性金融工具来构建delta中性头寸。
【例】某交易员构建了一个投资组合，包括股票X和以X为标的资产的期权。目前该组合达到delta中性，但gamma值为5000。已知期权的gamma为4,delta为0.5。请问交易员如何将组合调整至 delta 和gamma 均中性。
解析：
第一步，利用期权来构建gamma中性组合。
4 × N(option) + 5 000 = 0
由此可得N =-1250。
第二步，利用股票来构建delta中性组合。
-1 250×0.5+1×4×N(stock)=0
由此可得N(stock)=625。
因此，交易员需要做空1250个期权并做多625股股票。
3.1、Vega（Λ，ν）的定义
Vega是期权价格变化对标的资产波动率的敏感度，即两者之间的比率：ν=∂f/∂σ，波动率σ通常取为期权的隐含波动率。ν（vega)，即波动性风险：ν衡量了期权价值对基础工具波动性变化的敏感性。
在布莱克-斯科尔斯-默顿模型中，我们假设期权标的资产的波动率为常数，这意味着标的资产上所有期权的隐含波动率均为常数，并且与隐含波动率相等。但在实际中，波动率会随时间变化，这意味着衍生产品价格会既随着标的资产价格与期限的变化而变化，同时也会随波动率的变化而变化。
v越高，通常期权对持有者的价值也越高。通常vega的绝对值越大，该期权的价格对于标的资产波动率的变化越为敏感。
与gamma类似，vega对于具有相同特征的看跌期权和看涨期权是相同的，且期权多头方的vega值一定是正的，即波动率的上涨对于期权购买方是有利的，因为波动率上涨，期权价格更有可能往有利的方向运动。特别是在平值附近，即标的资产的价格等于执行价格（S=X）时，vega具有比虚值和实值的期权更大的绝对值。
而vega与gamma最大区别在于，期权距离到期的剩余时间越长，vega越大，但gamma则越小。
3.2、Vega（Λ，ν）的计算
标的资产不支付股息的情况下，欧式看涨或看跌期权的vega的计算公式如下：
ν=S·√T·N'(d1)，N'(d1)是标准正态概率密度函数。
3.3、Vega对冲
标的资产的头寸具有零vega，因此通过改变持有标的资产的头寸并不能改变vega。这一点与gamma相似。
另一个使问题变得复杂的原因是组合中的不同期权具有不同的隐含波动率。假定在一小段时间内组合里所有期权的隐含波动率都改变同样数量的话，与gamma一样，组合的vega风险可以通过持有单一期权的头寸而得到对冲。假设某交易组合的vega为v，正在交易的期权vega为v(T)，在交易组合中加入头寸为-v/v(T)的这个期权可以使交易组合瞬时vega中性。
但不幸的是，一个gamma中性的交易组合一般不会是vega中性，反之亦然。投资者要想使得一个交易组合同时达到gamma和vega中性，通常必须至少引入与标的产品有关的两种不同衍生产品才能达到目的。
4.1、Theta（Θ、θ）的定义
Theta（θ)被定义为由于时间损耗而引起期权价值变化的敏感度，也被称为时间损耗t(time decay），与其他影响因子不同，时间不是一个风险因子。θ是在其他条件不变时，投资组合价值变化与时间变化的比率。
θ，即时间衰减风险：θ衡量了期权的时间衰减。也就是说，它反映了随着期权临近到期日，期权价值将会如何变化。正γ通常与负时间衰减相关——也就是说，随着期权距到期时间的下降，期权价格将自然下降。
值得注意的是，T代表的是期权到期期限，T-t代表的是期权距到期日的剩余时间，t则是期权到期前的任何一个时间点。无论是看涨期权还是看跌期权，θ通常为负值，意味着随着时间的流逝，期权的价值会不断下降，但深度实值看跌期权的θ可能为正值。
在所有期权中，短期平值期权的θ值为最大负数（greatest negative theta）。由于时间的流逝是确定时间，因此不用对theta进行对冲。
对于一个深度实值的看跌期权多头，theta可能为正；随着到期日的临近，股票价格不可能为负值，这便使看跌期权的买方一定会在到期日执行期权（因为执行价格X必然大于S），这就相当于持有了一个面值为执行价格X的债券，因此，时间价值对于看跌期权买方来说是有利的。
4.2、Theta（Θ、θ）的计算
对于一个无股息股票上的欧式看涨期权，计算theta的公式可以从布莱克-斯科尔斯-默顿公式得出：
Θ= -S·N'(d1)·σ/(2√T)- r·K·exp(-r·T)·N(d2)。
对于股票上的欧式看跌期权，计算theta的公式为Θ= -S·N'(d1)·σ/(2√T)+ r·K·exp(-r·T)·N(-d2)。
因为N(-d2)=1-N(d2),看跌期权的theta比相应看涨期权的theta高出rKexp(-r·T)。
在这些公式中的时间是以年做单位。而通常在计算theta时的时间是以天为单位，因此theta为在其他变量不变时，在一天过后交易组合价值的变化。我们可以计算“每日历天”的theta或“每交易日”的theta。为了计算每日历天的theta，上面计算theta的公式必须除以365；为了计算每个交易日的theta，上面计算theta的公式则除以252。
【例】考虑一个对于股息股票上的看涨期权，其中股票价格为49美元，执行价格为50美元，无风险利率为5%，期限为20周（=0.3846年），股票价格波动率为20%,这时S=49,K=50,r=0.05,σ=0.2,和T=0.3846,期权的theta为-S·N'(d1)·σ/(2√T)- r·K·exp(-r·T)·N(d2) = - 4.31
因此，每日历天的theta为-4.31/365=-0.0118，每交易日的theta为-4.31/252=-0.0171。
期权的theta一般是负的，这是因为在其他条件不变的情况下，随着期限的减小，期权价值会降低。当股票价格很低时，theta接近于零。对应于一个平值看涨期权，theta很大而且是负值。当股票价格很高时，theta接近于- r·K·exp(-r·T)。
5.1、Rho（ρ）的定义
Rho（ρ）衡量的是期权价格对无风险利率的敏感性，ρ=∂f/∂r，r通常取为对应于期权期限的无风险利率。ρ，即贴现率风险：ρ衡量了期权价值对利率变化的反应——具体而言，这种利率变化是与期权期限相同的零息债券的利率变化。通常，ρ的值越高，期权对所有者的价值越低。
5.2、Rho（ρ）的计算
ρ(call)= ∂f/∂r=K·T·exp(-r·T)·N(d2) ρ(put)=∂f/∂r=-K·T·exp(-r·T)·N(-d2)
当利率上涨，意味着标的资产的价格会以更快的速度增长。因此，看涨期权的价格会上涨，增加了看涨期权被执行的可能性，故看涨期权的rho是正值。换句话说，购买看涨期权允许投资者从本来应该购买股票的资金中赚取利息。利率越高，赎回的价值自然越高。
同理，看跌期权的rho为负值。
【例】考虑一个对于无股息股票上的看涨期权，其中股票价格为49美元，执行价格为50美元，无风险利率为5%，期限为20周（=0.3846年），股票价格波动率为20%。这时，S=49，K=50，r=0.05，σ=0.2和T=0.3846。期权的rho为K·T·exp(-r·T)·N(d2)= 8.91
因此，当利率增加1%（0.01）时（由5%增长到6%），期权价格相应增长大约0.01×8.91=0.0891。
6、希腊指标的缺点
1、希腊指标衡量的每种敏感性都只表示部分金融风险。δ、γ和ν是彼此互补的，但不能加总它们得到头寸或投资组合的整体风险指标。
2、不同类型风险的敏感性不能加总——例如，同一个头寸的δ风险和γ风险不能加总。
3、不同市场的敏感性不能加总——例如，我们不能将欧元/美元看涨期权的δ和股指看涨期权的δ相加。
4、由于敏感性不能加总，因此不能用它评估风险因素变化可能产生的整体损失水平。
5、敏感性不能直接用于衡量银行的风险资本金额。
6、敏感性不便于金融风险控制。用δ、γ和ν表示的头寸限额通常无效，因为它们无法方便地转化为头寸的“最大可接受损失”。
这解释了对单只证券和投资组合的市场风险综合指标的需求。人们需要一致的市场风险指标，而在险价值是答案之一。
7、5个希腊字母的关系
在BSM模型中，期权定价模型——含有5个输入值的方程式f(S，X，T，R，σ)，如果这些输入值发生变化，那么对期权价格会产生怎样的影响？每一个希腊字母都用于衡量期权的某一特定风险，度量期权的价格对各种因素（BSM模型输入值）的敏感度。从数学角度来讲，希腊字母是导数的概念，即期权的价格变化随各因素变化的程度。
欧式期权价格的影响因素也就来源干5个输入值，包括标的资产价格S（由delta 和gamma 衡量）、距离到期日时间T（由 theta 衡量）、标的资产波动率σ（由vega衡量）、无风险利率R（由rho衡量）。
Delta（Δ）：在其他4个变量（输入值）不变的情况下，当标的资产如股票价格S发生较小的变化时，期权价格所发生的变化。Δ是期权价格对当前股价的一阶偏导，Δ=∂f/∂S。
Gamma（Γ）：在其他4个变量不变的情况下，当标的资产价格如股票价格S发生较小的变化时，期权的delta所发生的变化。Γ是Δ对当前股价的一阶偏导，或者说是期权价格对当前股价的二阶偏导，Γ=∂²f/∂S²。
Theta（θ）：在其他4个变量不变的情况下，当在期权到期期限内的任意一个时间点t发生较小的变化时，期权的价格所发生的变化，有时又被称为时间损耗（time decay）。θ是期权价格对时间t变化的一阶偏导，θ=∂f/∂t。
Vega（Λ）：在其他4个变量不变的情况下，当股价波动率发生较小的变化时，期权价格所发生的变化。Λ是期权价格对股价波动率的一阶偏导，Λ=∂f/∂σ。
Rho（ρ）：在其他4个变量不变的情况下，当无风险利率发生较小的变化时，期权的价格发生的变化。ρ是期权价格对无风险利率的一阶偏导，ρ=∂f/∂R。
8、总结
期权的delta（Δ）为期权价格变化与标的资产价格变化的比率。delta对冲是指构造delta为0的头寸（有时也称为delta中性头寸）。因为标的资产的delta值为1.0，因此，对于每一个期权的多头，一种对冲的方法是持有-Δ数量的标的资产。期权的delta随时间变化，这意味着应该经常调整标的资产的头寸。
一旦某个期权头寸已处于delta中性状态，接下来的一步是观察其gamma（T）。期权的gamma值为期权的delta变化与标的资产价格变化的比率。这一数量是衡量期权价格与标的资产价格关系曲线的凸性。通过使期权头寸的gamma中性，我们可以减小凸性对delta对冲效果的影响。如果某头寸的gamma值为Γ，那么通过持有gamma值为-Γ的可交易期权则可以达到以上目的。
delta与gamma两种对冲都假设波动率为常数。事实上，波动率会随时间变化。期权或期权组合的vega等于头寸价值变化与波动率变化的比率。希望将自身期权组合对波动率变化呈中性的交易员可以持有一个vega中性的交易组合。与构造gamma中性状态相同，交易员通常可以持有抵消性交易头寸来达到目的。如果交易员希望同时达到gamma和vega中性，他必须持有至少两种可以交易期权的头寸。
衡量期权头寸风险的另外两个测度为theta和rho。在其他变量不变时，theta等于头寸价值变化与时间变化的比率。类似地，在其他变量不变时，rho等于头寸价值变化与利率变化的比率。
在实际中，期权交易员常常会至少每一天都要调整交易组合以便保证delta中性。要经常保证gamma和vega中性是不现实的。一般来讲，交易员会观察这些敏感度，当它们变动太大时，要采取适当措施以至停止交易。
1、期权、期货及其他衍生产品（原书第10版）/（加）约翰·赫尔（John C.Hull）著；王勇，索吾林译。一北京：机械工业出版社，2018.7（2020.11重印）。书名原文：Options,Futures,and Other Derivatives。
2、风险管理精要：第二版/（法）米歇尔·克劳伊（Michel Crouhy），（以）丹·加莱（Dan Galai），（美）罗伯特·马克（Robert Mark）著；路蒙佳译.一北京：中国金融出版社，2016.15。书名原文：The Essentials of Risk Management(Second edition)。