线代--空间的基

1、空间的基的概念

若个向量生成维空间，最小是为；
若，则线性相关；
若个维向量线性无关，最大为。

$\color {skyblue} {\small 求证线性无关等价于求证是否存在一组全为的系数k,使得k_{1} \cdot \vec v_{1} \add \ k_{2} \cdot \vec v_{2} \add \ k_{3} \cdot \vec v_{3} + \cdots \add \ k_{m} \cdot \vec v_{m} = 0\Leftrightarrow 转而判断m个n维向量组成的系数矩阵 A \cdot \vec k = 0 有唯一零解}$
$\color {skyblue} { \small m个不共线的n维向量组成的线性系统A\cdot \vec k =0，是一个方程数大于未知数的线性系统，且行阶梯式的非零行个数等于未知数个数，所以有唯一零解，证得m个(m < n)个n维向量线性无关}$

若一组向量可以生成整个维空间，且线性无关，这组向量一定有个，则称这组向量为这个维空间的一组

因为可以生成整个维空间的个线性无关的维向量可以有无数组，所以一个空间可以有无数组基。

从一个低维空间--二维空间来看待空间的基

在二维空间中，任取两个不共线的向量和，它们就是二维空间的一组基，任意第三个向量都可以表示为和的线性组合。

基可以理解为一个初等数学接触的坐标系概念，是二维空间一组坐标系，也是一组坐标系，在这些坐标系下都可以观测到二维空间的任意一个点，区别在于不同的坐标系空间中同一个点的表示方式是不一样的。

给定维空间的一组基，则空间中的任意一个向量都可以表示成这组基的线性组合，且这个向量在这组基下的表示方法唯一。

证明：对维空间中的任意一个向量，求证是否一定存在一组，使得：

等价于求解线性系统: $\begin {bmatrix}1&0&\cdots 0\\ 0&1&\cdots 0 \\ \cdots& \cdots&\ \cdots \\ 0&0&\cdots 1 \end {bmatrix} \ \begin {bmatrix} k_{1} \\ k_{2} \\ \cdots \\ k_{n} \end {bmatrix}= \begin {bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ \cdots \\ u_{n} \end {bmatrix}$
对于这个线性系统，系数矩阵一定可逆，所以一定有解，且有唯一解

2、空间的基的性质

n维空间中，任意n个线性无关的向量，一定是这个n维空间的基；
n维空间中，额如果n个向量可以生成整个空间，则这n个向量，是这个n维空间的基；
如果一组向量可以生成维空间，则这组向量的存在一个子集，是维空间的一组基。--- 该结论表明，很多时候，我们并不需要构造维空间的一组基如果，当存在个向量可以生成整个维空间的时候，只需要从这组向量里挑选出一个包含个线性无关向量的子集就可以成为这个维空间的一组基

对于个线性无关的维向量，若，这个向量无法生成整个空间；降低到三维空间来理解就是，如果只给出两个三维空间的向量，它们只能形成一个平面，则这两个向量的任意线性组合都在平面上，无法生成不在平面的向量。当时，个线性无关的维向量可以生成整个空间，且可以成为空间的基。当，此时这个向量变成线性相关组，可以生成整个空间但不是空间的基。

线代--空间的基

1、空间的基的概念

2、空间的基的性质

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