对数函数与不等式：2011年理数全国卷题21

2011年理数全国卷题21

已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 .

（Ⅰ）求 的值；

（Ⅱ）如果当 ，且 时， ，求 的取值范围.

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【解答问题Ⅰ】

函数 的定义域为 .

切线方程可化为：

切点坐标为 ；所以

解得：

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【解答问题Ⅱ】

根据前节推导可知：

等效于：

又等效于：

令 ,

(1) 若 ,

当 , 函数 在 单调递减，在 单调递减；

当 ;

当 ;

所以，当 ,

符合要求；

(2) 若 , 当 , , 所以

符合要求；

(3) 若 , 当 ,

所以，当 ,

函数 单调递增，而

∴

不合要求.

综上所述，满足要求的 的取值范围为 .

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