高等代数理论基础61：欧几里得空间

欧几里得空间

欧几里得空间

定义：设V是实数域R上一线性空间,在V上定义一个二元实函数,称为内积,记作,具有以下性质：

1.

2.

3.

4.

其中是V中任意向量,k为任意实数,这样的线性空间V称为欧几里得空间

注：

1.欧几里得空间可以是有限维的,也可以是无限维的

2.几何空间中向量的全体构成一个欧几里得空间

例：

1.线性空间中,对向量,定义内积

构成一个欧几里得空间

2.在闭区间上的所有实连续函数所成的空间中,对函数定义内积

构成欧几里得空间

性质

1.内积是对称的

2.

3.

向量长度

定义：非负实数称为向量的长度,记作

性质：,其中

单位向量

长度为1的向量称为单位向量

若,用向量的长度除向量,得,为一个与成比例的单位向量,称为把单位化

向量夹角

柯西-布涅柯夫斯基不等式

,

证明：

例：

1.对

2.对

三角形不等式

故

向量夹角

定义：非零向量的夹角,

正交

定义：若向量的内积为零,即,则称正交,或互相垂直,记作

注：

1.两个非零向量正交的充要条件为它们的夹角为

2.只有零向量才与自己正交

勾股定理

当正交时,

推广：

若两两正交,则

度量矩阵

设是一个n维欧几里得空间,在V中取一组基,

令

显然,

故

且

其中,分别为的坐标

矩阵称为基的度量矩阵

注：

1.度量矩阵完全确定内积

2.不同基的度量矩阵是合同的

设是空间V的另外一组基,由到的过渡矩阵为C,即

则的度量矩阵

3.度量矩阵是正定的

对,即

反之,给定一个n级正定矩阵A及n维实线性空间V的一组基,可规定上内积,使它成为欧几里得空间,且基的度量矩阵为A

注：欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下也是一个欧几里得空间

欧几里得空间简称欧氏空间