hdu 4734 F(x)

F(x)

题意

定义一个十进制数的权重： $F(x)=x_n\cdot 2^{n-1}+x_{n-1}\cdot 2^{n-2}+...+x_1\cdot 2^0$

给定两个数 $A,B$，求出 $[0,B]$ 中有多少个数的权重不大于 $A$ 的权重

思路

可以发现权重最大为 $9\times {\sum }_{i=0}^8{2}^i=4599$。如果我们用 $pos$，当前的权重，$A$ 的权重来表示限制条件的话，需要数组大小：$10\times 4600\times 4600=4.6\times 10^8$，空间不够。如果我们不存 $A$ 的权值，而是每一轮都 $memset$ 的话，由于 $t$ 最大为 $10^4$，时间复杂度为 $10^4\times 10\times 4600=4.6\times 10^8$，时间也不符合要求。

那么我们肯定要转化思想，不妨将限制条件改为：$pos$ 个全变化位的条件下，低 $pos$ 位最多还可以拥有的权重的大小，也就是说，我们一开始权重空间初始化为 $A$ 的权重，然后往下搜的过程中，减去每一位的权重，如果发现权重变为负数，就不符合。

此时 $DP$ 状态为：$dp[pos][left]$，$left$ 为可用权重空间大小。因为不管 $A$ 的权重多少，如果我们当前剩下的空间一样的话，低位的选择情况也是一样的。通过这样子相减，我们成功将 $dp$ 数组的维度降低了一维。

时间复杂度：$O(len\times 4600)$

#include
#define fore(i,l,r)	for(int i=(int)(l);i<(int)(r);++i)
#define fi first
#define se second
#define endl '\n'
#define ull unsigned long long
#define ALL(v) v.begin(), v.end()
#define Debug(x, ed) std::cerr << #x << " = " << x << ed;

const int INF=0x3f3f3f3e;
const long long INFLL=1e18;

typedef long long ll;

int dp[11][4620];
int num[11];
int two[11];

int dfs(int pos, int left, bool limit){
    if(left < 0) return 0;
    if(!pos) return 1;
    if(!limit && ~dp[pos][left])  return dp[pos][left];
    int res = 0;
    int up = (limit ? num[pos] : 9);
    fore(i, 0, up + 1){
        int nl = left - i * two[pos - 1]; //新空间
        if(nl < 0) continue;
        res += dfs(pos - 1, nl, limit && i == up);
    } 
    if(!limit) dp[pos][left] = res;
    return res;
}

int solve(int x, int A){
    int len = 0;
    while(x){
        num[++len] = x % 10;
        x /= 10;
    }
    int Fa = 0;
    int w = 1;
    while(A){
        Fa += w * (A % 10);
        A /= 10;
        w <<= 1;
    }
    return dfs(len, Fa, true);
}

int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    std::cout.tie(nullptr);
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    two[0] = 1;
    fore(i, 1, 11) two[i] = two[i - 1] * 2;
    int t;
    std::cin >> t;
    fore(Case, 1, t + 1){
        int A, B;
        std::cin >> A >> B;
        std::cout << "Case #" << Case << ": " << solve(B, A) << endl;
    }
    return 0;
}