【Leetcode】215. Kth Largest Element in an Array

题目地址：

https://leetcode.com/problems/kth-largest-element-in-an-array/
给定一个数组，求它的第$k$大元素（真实定义是从大到小排好序后位于第$k$个的数，或者下标$k-1$的数）。

快速选择算法。代码如下：

class Solution {
 public:
  int findKthLargest(vector<int>& A, int k) {
    int n = A.size();
    k = n - k;
    return quick_select(A, 0, n - 1, k);
  }

  int quick_select(vector<int>& A, int l, int r, int k) {
    if (l >= r) return A[l];
    int i = l, j = r, piv = A[l + (r - l >> 1)];
    while (i <= j) {
      while (A[i] < piv) i++;
      while (A[j] > piv) j--;
      if (i <= j) swap(A[i++], A[j--]);
    }

    if (k <= j) return quick_select(A, l, j, k);
    if (k >= i) return quick_select(A, i, r, k);
    return A[k];
  }
};

平均时间复杂度$O(n)$，空间$O(1)$。

算法正确性可以由快速排序的证明得到。具体可以参照：https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/104085776。下证时间复杂度。对于时间复杂度，假设每次的分点出现的位置的概率符合均匀分布。有递推方程（其实就是花了$O(n)$的时间以$\frac{1}{n}$的概率eliminate掉若干数字）：$$T(n)=n+\frac{1}{n}(T(n-1)+T(n-2)+...+T(1))$$所以$$\begin{gathered} nT(n)-nT(n-1)=2n-1 \\ T(n)-T(n-1)=2-\frac{1}{n} \end{gathered}$$累加起来即得：$$T(n)=O(n)$$