1.迭代与递归 - JS

迭代与递归是函数进阶的第一个门槛。迭代就是对已知变量反复赋值变换；递归就是函数体内调用自身。

迭代

一个迭代是就是一个循环，根据迭代式对变量反复赋值。

1. 求近似根（切线法）；
   

迭代描述：

• $x_0$，初始估计
• $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{{}^{\prime }}(x_0)}$
• $x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f^{{}^{\prime }}(x_1)}$ ……
• $x_n=x_{n-1}-\frac{f(x_{n-1})}{f^{{}^{\prime }}(x_{n-1})}$ ……
• 直到满足一定精度要求。

下面是一个求一元二次方程的根的例子。

/* 求一元二次方程的根
* a, b, c 是方程系数; x0 是初始估计
*/
function root2([a, b, c], x0) {
	let fx0, dfdx0;
	while (1) {
		fx0 = a*x0*x0 + b*x0 + c;
		if (Math.abs(fx0) < 1e-6) break;
		dfdx0 = 2*a*x0 + b;
		x0 = x0 - fx0 / dfdx0;
	}
	return x0;
}

let eq = [2, 3, 1], x0 = 0;
root2(eq, x0)	// -0.499999

2. 斐波那契数列

• $f0=0,f1=1$
• $f2=f1+f0$
• $f3=f2+f1\dots \dots$

function fib(n) {
	n = +n;
	let i = 0;
	let f0 = 0, f1 = 1;
	while (i < n) {
		[f0, f1] = [f1, f0 + f1];
		i++;
	}
	return f0;
}

fib(0)	// 0
fib(1)	// 1
fib(2)	// 1
fib(3)	// 2
fib(8)	// 21

递归

递归就是在函数体内调用自身。在函数体中调用自身至少有以下三种方式：

1. 函数名；
2. arguments.callee；
3. 作用域内一个指向该函数的变量名；

function fac(n) {
	if (n <= 1) return 1;
	else return n * fac(n - 1);
}

function fac(n) {
	if (n <= 1) return 1;
	else return n * arguments.callee(n - 1);
}

let factorial = function fac(n) {
	if (n <= 1) return 1;
	else return n * factorial(n - 1);
}
factorial(5)	// 120

基本要素

• 递归出口：达到边界条件、停止递推、开始归返；
• 递推公式：非边界条件、向更深处递推。

递归过程

• 递推；
• 归返。

4!=4*3!

3!=3*2!

2!=2*1!

return 1

return 2*fac(1)

return 3*fac(2)

return 4*fac(3)

1!

fac(1)

2!

fac(2)

3!

fac(3)

4!

fac(4)

result

优点缺点

• 优点：
  • 实现简单；
  • 可读性高。
• 缺点：
  • 空间利用率低；
  • 递归太深，栈溢出。

简单例子

1. 阶乘

function fac(n) { 
	if (n == 0) return 1;		// 递归出口
	else return n * fac(n - 1);	// 递推公式
}

fac(4)		// 24
fac(170)	// 7.257415615307994e+306
fac(171)	// Infinity

2. 斐波那契数列

function fib(n) {
	if (n <= 1) return 1;
	else return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

fib(0)	// 0
fib(1)	// 1
fib(2)	// 1
fib(3)	// 2
fib(8)	// 21