一阶逻辑基本概念

前言：第四章！

0X00 从「命题逻辑」到「一阶逻辑」的过渡

数学就是不断抽象的过程。。。

我们来看个例子：

所有的人都比 madao756 帅，你是人，所以你比我帅

在之前的「命题逻辑」中，我们只能把它抽成三个「简单命题」

• p：所有的人都比 madao756 帅
• q：你是人
• r：你比我帅

符号化以后就变成

单从结果来看，其实损失了一些关键信息：比如「所有人」。

于是数学家们想出了一个更好的，更完美的方法，表示上述命题，我们把它叫做「一阶逻辑」。

0X01 「一阶逻辑命题」的符号化基础知识

为了将上述「你比我帅」抽成「一阶逻辑」的形式，我们得先学一点基础知识：

什么是谓词

先有一个感性地认识：

• 亭亭（我女朋友：）你最好看！

其中「...最好看」就是一个「谓词」，抽象成数学就变成：

F(x) : x 最好看，F(x) 就是一个谓词。

类似的还有很多很多：

• G(x, y) : x 比 y 长
• H(x): x 是女生

...

什么是量词

量词是「一阶逻辑」中的关键，因为之前的「命题逻辑」并不能很好的体现「所有」、「存在」这样的描述词语

量词也很简单就两个：

• 全称量词

像我们之前的「所有」、「一切」这样的词就可以抽象成「全称量词」用符号 表示

• 存在量词

我们说的什么「存在」、「有」这样的词就可以抽象成「存在量词」用符号 表示

结合「谓词」和「量词」，我们就可以将一些命题抽象成「一阶逻辑」

比如「所有人都比 madao756 帅」可以抽象成，

谓词：F(x): x 比 madao756 帅

量词：

个体词

你有没有一种感觉，差了点什么？

在说谓词的时候，F(x): x 比 madao756 帅。x 是啥？是猪？「猪比 madao756 帅」？就没个定义域啥的？有的！

首先，先感性地认识「个体词」

小王、小李、madao756 可以是个体词，F(x): x 比 madao756 帅中的 x 也是个体词。前者与后者的具体差别就是：前者是固定的我们叫做「个体常项」后者不是固定的我们叫做「个体变项」

而「个体变项」的范围就是「个体域」

有一个特殊的「个体域」：它是宇宙一切事物组成的，称作「全总个体域」

0X02 做个题目

现在我们根据 0X01 中的内容做一些题目：

将下述命题分别在 D1 和 D2 的「个体域」下「一阶逻辑」化

1）凡人都呼吸

2）有的人用左手写字

个体域 D1 为人类集合

个体域 D2 为全总个体域

• 对于「个体域」D1

  1）F(x): x 呼吸

  2）G(x): x 用左手写字

• 对于「个体域」D2

由于上述命题是对人而言的也就是说，应该将上述命题写成：

1）如果个体是人，个体呼吸

2）如果个体是人，有的人用左手写字

所以我们要搞出一个定义人的谓词：M(x) : x 是人，写成：

1）

2）

0X03 最后再说一些数学名词

在 和 中，由于有量词的存在，我们称量词后面的 x 是「指导变元」

量词后面的 或者 我们叫做：「辖域」

中所有 x 的出现，我们叫做 「约束出现」

而在 中所有 y 的出现，由于没有对 y 进行量词限制，所以对于 中出现 y，我们叫做「自由出现」

对于 中给 x 值这一动作叫做「赋值」

而将 F(x) 定义为 x 是大佬。这一动作叫做「解释」

第四章结束。。。